Аффинные пространства. Скляренко В.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

20 Аффинные пространства
Пример 1.9. На плоскости заданы две системы координат: ста-
рая и новая , связанные соотношениями
Найти:
i. Координаты точки и единичных векторов
#» #»
осей и
в системе ;
ii. Координаты точки и единичных векторов
#» #»
осей и
в системе ;
iii. Координаты единичной точки в системе ;
iv. Координаты единичной точки в системе ;
v. Уравнения координатных осей и в системе ;
vi. Уравнения координатных осей и в системе ;
vii. Уравнение прямой в системе координат ;
viii. Уравнение прямой в системе координат .
Решение.
i. Обратимся к формулам –– , связывающим коорди-
наты точки в двух системах координат: столбцы матрицы
образованы координатами векторов нового базиса относитель-
но исходной системы координат, –– матрица-столбец коорди-
нат вектора
# »
–– радиус-вектора точки , также в исходной
системе координат. По условию задачи , .
Следовательно, векторы
#» #»
имеют в системе коорди-
наты:
#»
,
#»
, а точка .
ii. Из равенств найдем формулы, выражающие координаты
через координаты :
Поскольку , то
20                                                                                    Аффинные пространства


   Пример 1.9. На плоскости заданы две системы координат: ста-
рая 𝑂𝑥𝑦 и новая 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ , связанные соотношениями

                                       𝑥   =3 ′+2 ′−4
                                                    𝑥           𝑦           ,
                                                                                                             (1 13)
                                       𝑦   =2 ′+2 ′+2
                                                    𝑥           𝑦           .
                                                                                                               .




      Найти:
      i. Координаты точки 𝑂′ и единичных векторов #» ′ #»′         ′ ′
                                                  𝑒 1 , 𝑒 2 осей 𝑂 𝑥 и
          ′ ′
         𝑂 𝑦 в системе 𝑂𝑥𝑦 ;

     ii. Координаты точки 𝑂 и единичных векторов #»      #»
                                                   𝑒 1 , 𝑒 2 осей 𝑂𝑥 и
                       ′ ′ ′
         𝑂𝑦 в системе 𝑂 𝑥 𝑦 ;

 iii. Координаты единичной точки                                𝐸
                                                                    ′ в системе         𝑂𝑥𝑦   ;
     iv. Координаты единичной точки                             𝐸   в системе            ′ ′ ′;
                                                                                       𝑂 𝑥𝑦

     v. Уравнения координатных осей                             𝑂 𝑥
                                                                    ′ ′и         ′ ′ в системе
                                                                                𝑂 𝑦                𝑂𝑥𝑦   ;
     vi. Уравнения координатных осей                            𝑂𝑥      и   𝑂𝑦       в системе     ′ ′ ′;
                                                                                                  𝑂 𝑥𝑦

 vii. Уравнение прямой ℓ1           : 2 − +1 = 0 в системе координат ′
                                               𝑥     𝑦                                                      𝑂 𝑥𝑦
                                                                                                                   ′ ′;
                                   2:
viii. Уравнение прямой             ℓ
                                       ′ − 5 ′ − 5 = 0 в системе координат
                                           𝑥            𝑦                                                    𝑂𝑥𝑦      .

      Решение.
      i. Обратимся к формулам .                    (1 10) (1 11)
                                          –– . , связывающим коорди-
         наты точки в двух системах координат: столбцы матрицы 𝐶
         образованы координатами векторов нового базиса относитель-
         но исходной системы координат, 𝑋0 –– матрица-столбец коорди-
         нат вектора 𝑂𝑂′ –– радиус-вектора точки 𝑂′ , также
                     # »
                                                                    в исходной
                                                                             −4 )︁. =                  =
                                                        (︁     )︁         (︁
         системе координат. По условию задачи 𝐶            3 2    , 𝑋
                                                           22         0      2
         Следовательно, векторы #»  ′ #»′
                                  𝑒 1 , 𝑒 2 имеют в системе 𝑂𝑥𝑦 коорди-

         наты: #»
               𝑒1 = (3 2) = (2 2)
                  ′   ,  , #»
                           𝑒2
                              ′  ,    , а точка 𝑂′ − , .                         ( 4 2)
     ii. Из равенств (1 13) найдем формулы, выражающие координаты
                          .

         ( ′ ′) через координаты ( ):
         𝑥 ,𝑦                                       𝑥, 𝑦



                                      −1 + 4
                                 ′     ⎛       ⎞                    ⎛            ⎞


                                 ′ =
                                           𝑥                            𝑥

                                          −2
                                       ⎝       ⎠            𝐶       ⎝            ⎠.
                                           𝑦                            𝑦



         Поскольку −1 = −11 3−12 , то
                              (︁               )︁
                      𝐶                    /

Страницы