Аффинные пространства. Скляренко В.А - 22 стр.

22                                                                                                               Аффинные пространства


                                                            ( − + 6) − 5 − + − 7 − 5 = 0,
                                                                                                            (︂                                  )︂
                                                                                                                                3
         через старые координаты:                                            𝑥       𝑦                              𝑥               𝑦

         то есть ℓ2  𝑥−   : 12
                           𝑦                       17 + 72 = 0.                                                                 2




     Ответ. i.            𝑂
                              ′ (−4, 2), #»
                                 = (3 2), #»′2 = (2 2); ii. (6 −7), #»1 =
                                         𝑒
                                            ′                                ,            𝑒                ,                    𝑂       ,                𝑒
                                                            1
= (1 1) = −1 ; iii. ′(1 6); iv. 6 − ; v. ′ ′ : 2 − 3 +
                              (︂                   )︂                                             (︂               )︂

      ,−
                                               3                                                            13
           , #»
             𝑒2                            ,                    𝐸        ,                    𝐸        ,                        𝑂 𝑥              𝑥           𝑦

+14 = 0 : − +6 = 0; vi. : ′ + ′ +1 = 0, : 3 ′ +2 ′ − 4 = 0;
         , 𝑂′𝑦 ′
                                               2                                                               2
                          𝑥        𝑦                                    𝑂𝑥       𝑥        𝑦                        𝑂𝑦               𝑥           𝑦

vii. 1 : 4 ′ + 2 ′ − 9 = 0; viii. 2 : 12 − 17 + 72 = 0.
     ℓ        𝑥       𝑦                                         ℓ                𝑥            𝑦



   Пример 1.10. Написать формулы преобразования координат на
плоскости, принимая за новые координатные оси 𝑂′ 𝑥′ и 𝑂′ 𝑦 ′ соот-
ветственно прямые ℓ1 𝑥 𝑦 −          и ℓ2 𝑥      𝑦 −:3 +     , а за           20 = 0                        :2 +5                     35 = 0
                                                  ′
единичную точку новой системы координат –– точку 𝐸 , .                                                                              (5 3)
     Решение. Положим

                                                        𝑥
                                                         ′ =𝑎 𝑥+𝑎 𝑦+𝑎 ,
                                                             11  12   1
                                                        𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑎 𝑦 +𝑎 .
                                                         ′
                                                                    21               22                2

    Координатная 𝑂′ 𝑥′ ось в новой системе координат определяется
условием 𝑦 ′      =0        + + =0
               , то есть 𝑎21 𝑥 𝑎22 𝑦 𝑎2       –– уравнение прямой ℓ1 .
                    + + = 0 3 + 20 = 0
Если уравнения 𝑎21 𝑥 𝑎22 𝑦 𝑎2       и 𝑥 𝑦−             определяют одну
и ту же прямую, то     = = =
                     𝑎21    𝑎22

                                 −
                                  𝑎2
                                                           =3
                                        λ. Следовательно, 𝑎21        λ,
    =       = 20             = (3 + 20)
              − λ. Тогда 𝑦′ λ 𝑥 𝑦 − . Значение λ найдем
                      3      1      20
𝑎22   λ, 𝑎2
из условия, что 𝑦 ′=1        =5 =3 =
                         при 𝑥     , 𝑦    : λ     − 1 . Таким образом,                                                  2

𝑦
 ′ = − − + 10.
          3
              𝑥
                  1
                      𝑦

    Аналогично рассуждая, получим, что уравнение 11 + 12 + 1 =
          2       2
                                                                                                                            𝑎       𝑥       𝑎        𝑦   𝑎

= 0 есть уравнение прямой 2, то есть 11 = 2µ, 12 = 5µ, 1 = −35µ.ℓ                         𝑎                        𝑎                        𝑎

Значит, ′ = µ(2 + 5 − 35), причем ′ = 1, если = 5, = 3, откуда
              𝑥               𝑥                𝑦                                     𝑥                             𝑥                𝑦

заключаем: µ = − . Искомые формулы преобразования координат
                                       1

                                   10
имеют вид

                                                        𝑥
                                                            ′ = −1𝑥 − 1𝑦 + 7,
                                                                        5            2            2


                                                        𝑦 = − 𝑥 − 𝑦 + 10.
                                                         ′   3   1

                                                                        2            2



     Ответ.       𝑥
                      ′ = − 1 𝑥 − 1 𝑦 + 7 , 𝑦 ′ = − 3 𝑥 − 1 𝑦 + 10.
                                   5                    2           2                     2            2