Аффинные пространства. Скляренко В.А - 25 стр.

Аффинные замены координат                                                                                                                                                                         25

                                                       ′ ′ ′:
                                                      𝑂 𝑥𝑦                  𝑥   +2 −1=0     𝑦                            ,

                                                      𝑂 𝑥𝑧 :                    + −1=0
                                                       ′ ′ ′                𝑦           𝑧                            ,

                                                      𝑂 𝑦 𝑧 :                   +3 +2 −1=0
                                                       ′ ′ ′                𝑥               𝑦            𝑧                               .




  v. Уравнение плоскости 𝒫 в системе 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ найдем, заменив в
     уравнении 𝑥    𝑦 − 𝑧 −   4 +3
                                 старые координаты их выраже-  5         2=0
     ниями .              (1 15)
                через новые координаты 𝑥′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ :

          4(−2 ′ +4 ′ − ′ − 3)+3( ′ − 2 ′ + ′ +2) − 5(− ′ + ′ − ′ − 1) − 2 = 0
                      𝑥       𝑦           𝑧                        𝑥        𝑦           𝑧                                        𝑥           𝑦                𝑧                                    .



          В результате преобразования последнего уравнения получим
          5 +4
           𝑦
             ′  𝑧 −
                 ′      .         3=0
 vi. Прямая ℓ проходит через точку 𝑀 , , в направлении векто-                                       (5 8 9)
     ра #»
        𝑎     , ,     = (1 1 8)
                  . Здесь координаты и вектора, и точки указаны
     в системе 𝑂𝑥𝑦𝑧 . Найдем, используя . , координаты точки                                           (1 16)
     𝑀 в новой системе координат 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 : 𝑀 −
                                    ′ ′ ′ ′       ,−   ,  . Коор-                                           ( 46 16 20)
     динаты вектора 𝑎 #»    1 2 3
                           𝑎 ,𝑎 ,𝑎
                                              ′ ′  ′ ′  =(
                                   в системе 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 определим с                        )
     помощью матрицы 𝐶 : −1


                                          ⎛
                                              𝑎
                                                  1⎞
                                                         −1 −3 −2 1
                                                               ⎛
                                                                     −20                            ⎞⎛       ⎞                   ⎛            ⎞

                                          ⎜  ⎟
                                          ⎜ 2⎟
                                          ⎝𝑎 ⎠         = 0 −1 −1 1 = −9
                                                               ⎜
                                                               ⎜
                                                                                                    ⎟⎜
                                                                                                    ⎟⎜
                                                                                                             ⎟
                                                                                                             ⎟
                                                                                                                                 ⎜
                                                                                                                                 ⎜
                                                                                                                                              ⎟
                                                                                                                                              ⎟
                                                                                                                                              ⎠.

                                                                       1 2 0                                 8                           3
                                                               ⎝                                    ⎠⎝       ⎠                   ⎝
                                                  3
                                              𝑎




          Уравнение прямой                              ℓ      в системе координат                                                   ′ ′ ′ ′ имеет вид
                                                                                                                                 𝑂 𝑥𝑦 𝑧


                                                               ′
                                                           𝑥 + 46
                                                                         =
                                                                                    ′
                                                                                𝑦 + 16
                                                                                                     =       𝑧
                                                                                                                 ′
                                                                                                                     −    20

                                                               −   20                   −   9                        3
                                                                                                                                 .




   Ответ.       (−3 2 −1); ii. ′ ′ : − = − = − ′ ′ :
                          i. 𝑂′               ,   ,           =         𝑂 𝑥
                                                                                        𝑥 +3                 𝑦               2           𝑧 +1
                                                                                                                                                          , 𝑂 𝑦
                                                                                                                                                                                  𝑥 +3




= −− =                            − =                   − = − =
                                                                                                2                    1                            1                                   4

                   ′ ′:      =                       :
                                                                                                                                                      ′                           ′
  𝑦           2       𝑧 +1                            𝑥 +3              𝑦       2                   𝑧 +1                                         𝑥                1           𝑦               1
                                             ; iii.
                        −     ,       𝑂 𝑧
                                          −            −                                                                         𝑂𝑥

                 −         −                 : − = −− =
                                                   −
          2               1                             1                   1                            1                                                    1                       0

=            : − = − =
      ′                           ′                        ′                    ′                                        ′                                    ′                           ′
   𝑧 +1                       𝑥           1            𝑦           1            𝑧 +1                                 𝑥               1                    𝑦           1               𝑧 +1
                  ,   𝑂𝑦                                       ;                                ,    𝑂𝑧

iv. ′ ′ ′ :   + 2 − 1 = 0 ′ ′ ′: + − 1 = 0 ′ ′ ′: + 3 +
          1                           3                        1                    2                                            2                                1                           0
   𝑂 𝑥𝑦                   𝑥           𝑦                            ,    𝑂 𝑥𝑧                𝑦         𝑧                                  ,       𝑂 𝑦 𝑧                    𝑥                   𝑦

+ 2 − 1 = 0; v. 𝒫 : 5 ′ + 4 ′ − 3 = 0; vi. : − = − = − .
                                                                                                                 ′                            ′                               ′
                                                                                                             𝑥 + 46                          𝑦 + 16                       𝑧           20
   𝑧                                              𝑦            𝑧                                     ℓ
                                                                                                                         20                               9                       3