Аффинные пространства. Скляренко В.А - 57 стр.

Задачи                                                                                                                                                          57


  Задача 1.11. В пространстве заданы две системы координат
        ′ ′ ′ ′
𝑂𝑥𝑦𝑧 и 𝑂 𝑥 𝑦 𝑧 , связанные заданными соотношениями. Найти:


   i. Координаты начала системы                                                     ′ ′ ′ ′ в системе
                                                                                   𝑂 𝑥𝑦 𝑧                             𝑂𝑥𝑦𝑧            ;
  ii. Канонические уравнения осей координат системы                                                                               ′ ′ ′ ′ в си-
                                                                                                                              𝑂 𝑥𝑦 𝑧

      стеме 𝑂𝑥𝑦𝑧 ;
 iii. Канонические уравнения осей координат системы 𝑂𝑥𝑦𝑧 в систе-
      ме 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ ;
 iv. Уравнения координатных плоскостей системы 𝑂′ 𝑥′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ в системе
     𝑂𝑥𝑦𝑧 ;

  v. Уравнение плоскости 𝒫 в системе                                                          ′ ′ ′ ′;
                                                                                          𝑂 𝑥𝑦 𝑧

 vi. Канонические уравнения прямой                                                    ℓ   в системе  ′ ′ ′ ′.     𝑂 𝑥𝑦 𝑧


  1.
       ⎧
       ⎪= 5 ′ ′ − ′ ′ − 3′ ′ + 1
         𝑥                 𝑥           𝑦               𝑧               ,
                                                                                        ⎧
                                                                                     5. ⎪ 𝑥 = −4 𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 ,
                                                                                                   ′       ′   ′
        = −′ − ′2 + ′1                                                                    𝑦 = 5𝑥 − 5𝑦 + 6𝑧 ,
       ⎪                                                                                ⎪
       ⎨
           𝑦       𝑥               𝑦               𝑧               ,
                                                                                        ⎨
                                                                                                ′       ′     ′
        =3 −2 −4 −3                                                                       𝑧 = −𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑧 + 3,
                                                                                                 ′       ′     ′
       ⎪
       ⎪                                                                                ⎪
                                                                                        ⎪
       ⎩                                                                                ⎩
           𝑧               𝑥               𝑦               𝑧               ,

     𝒫 : 2 + −2 +1=0   𝑥       𝑦                𝑧                          ,              𝒫: 4− − 2 − 4 +−5 = 0
                                                                                                          𝑥       𝑦               𝑧                         ,

      :ℓ        = − =− .
               𝑥 + 10

                   4
                                       𝑦 + 10

                                               10
                                                                   6+ 𝑧

                                                                       4
                                                                                         :ℓ      =𝑥

                                                                                                      5
                                                                                                          =
                                                                                                          9       𝑦 +7
                                                                                                                   .
                                                                                                                      8
                                                                                                                                      𝑧

                                                                                                                                              6
                                                                                                                                                  10




  2.
       ⎧
       ⎪= −2′ ′ − 6′ ′ − 9′ ′ − 3
         𝑥                     𝑥               𝑦               𝑧               ,     6.
                                                                                          ⎧
                                                                                          ⎪ = 5 ′ −′ 6 ′ +′ 14 ′ +′ 3
                                                                                            𝑥             𝑥           𝑦                   𝑧                 ,

        = 2 +′ 5 +′ 8 +′2                                                                   = −4 ′ + 5 ′ − 12 ′
       ⎪                                                                                  ⎪
                                                                                          ⎨
       ⎨
           𝑦               𝑥               𝑦               𝑧               ,                  𝑦               𝑥           𝑦                       𝑧 ,

        = −3 − 9 − 14                                                                       = −3 + 3 − 7
       ⎪                                                                                  ⎪
                                                                                          ⎪
       ⎪
       ⎩                                                                                  ⎩
           𝑧                   𝑥               𝑦                   𝑧 ,                        𝑧               𝑥           𝑦                   𝑧 ,

     𝒫 : −2 − −1=0 𝑥           𝑦           𝑧                           ,                𝒫 : −4 +5 −2=0𝑥       𝑦               𝑧                         ,

      :ℓ      = −− = − .
               𝑥 +9

                   0
                                   𝑦       5

                                           8
                                                         𝑧

                                                               2
                                                                   10
                                                                                         : −− = − = − .
                                                                                          ℓ
                                                                                                  𝑥

                                                                                                      3
                                                                                                          5       𝑦

                                                                                                                      3
                                                                                                                          4           𝑧

                                                                                                                                          8
                                                                                                                                                  7




  3.
       ⎧
       ⎪= − ′′ − ′ −′ 2 ′ −′ 2
         𝑥                 𝑥           𝑦               𝑧               ,             7.
                                                                                          ⎧
                                                                                          ⎪ = −3 ′′ + 7 ′′ + 2′ ′ − 1
                                                                                            𝑥                 𝑥           𝑦                   𝑧             ,

        = −′ −′ 2 −′ 2                                                                      = −′3 +′ 9 +′ − 1
       ⎪
       ⎨                                                                                  ⎪
                                                                                          ⎨
           𝑦               𝑥               𝑦               𝑧 ,                                𝑦               𝑥           𝑦               𝑧             ,

        = + +3 +3                                                                           = −2 − −1
       ⎪
       ⎪                                                                                  ⎪
                                                                                          ⎪
       ⎩                                                                                  ⎩
           𝑧       𝑥           𝑦                   𝑧               ,                          𝑧       𝑥           𝑦           𝑧                   ,

     𝒫 : −4 − +1=0 𝑥           𝑦           𝑧                           ,                𝒫 : 3 +4 −4 −2=0  𝑥       𝑦               𝑧                         ,

      : −− = − = − .
       ℓ
               𝑥

                   9
                       2           𝑦

                                       7
                                           3             𝑧

                                                               6
                                                                   8
                                                                                         : − = −− = .
                                                                                          ℓ
                                                                                                  𝑥 +2

                                                                                                      5
                                                                                                                  𝑦

                                                                                                                      5
                                                                                                                          3           𝑧 +6

                                                                                                                                          2


  4.
       ⎧
       ⎪
       ⎪=2 ′−3 ′+ ′+2
         𝑥                 𝑥               𝑦           𝑧               ,             8.
                                                                                          ⎧
                                                                                          ⎪
                                                                                          ⎪ = 5 ′ + 10 ′ + 4 ′ + 2
                                                                                            𝑥             𝑥               𝑦               𝑧                 ,

        = −5 ′ + 8 ′ − 2 ′ − 1                                                              = −3 ′ − 5 ′ − 2 ′ + 3
       ⎪
       ⎨                                                                                  ⎪
                                                                                          ⎨
           𝑦                   𝑥               𝑦               𝑧               ,              𝑦               𝑥           𝑦                   𝑧             ,

        = ′−2 ′+ ′                                                                          = ′+3 ′+ ′+3
       ⎪
       ⎪                                                                                  ⎪
                                                                                          ⎪
       ⎪
       ⎩                                                                                  ⎪
                                                                                          ⎩
           𝑧       𝑥                   𝑦           𝑧 ,                                        𝑧       𝑥           𝑦           𝑧                   ,

     𝒫 : 3 −3 −2 −4=0  𝑥               𝑦            𝑧                          ,        𝒫 : 5 −2 −4 +3=0  𝑥       𝑦               𝑧                         ,

      : − =
       ℓ
               𝑥 + 10

                       8
                          = − .        𝑦 + 10

                                           9
                                                               𝑧 +3

                                                                       6
                                                                                         : − = − = .
                                                                                          ℓ
                                                                                                  𝑥 +3

                                                                                                      3
                                                                                                                  𝑦

                                                                                                                      4
                                                                                                                          10              𝑧 +3

                                                                                                                                              1