Аффинные пространства. Скляренко В.А - 62 стр.

62                                                                           Евклидовы пространства


2. Евклидовы пространства
2.1. Скалярное произведение. Матрица Грама.
     Ортогонализация
    Определение 2.1. Говорят, что в линейном пространстве E зада-
                                                                        𝑎, 𝑏 ∈ E
                                                                           #»
но скалярное произведение, если для любой пары векторов #»
определено число #»    (  #»
                       𝑎, 𝑏      )
                              ∈ R так, что при всех #»𝑎 , #»𝑏 , #»𝑐 ∈ E, α, β ∈ R
выполнены условия:
      ( ) 0
   1. #»  #»    ( )=0
      𝑎 , 𝑎 > , причем  =0    #»
                              𝑎, 𝑎
                                  #»      ⇔ #»𝑎 ;
      ( )=( )
   2. #»
      𝑎, 𝑏
          #»      #» #»
                   𝑏, 𝑎 ;


      ( +
   3. α #»
        𝑎   )= ( )+ ( )
               #»
             β 𝑏 , #»
                    𝑐    α #»  #»
                            𝑎, 𝑐
                                       #»
                                     β 𝑏 , #»
                                            𝑐 .



   Определение 2.2. Линейное пространство E, в котором зада-
но скалярное произведение, называют евклидовым линейным про-
странством.

   С помощью скалярного произведения в линейном евклидовом
пространстве вводятся норма вектора и угол между векторами по
формулам:

                                                 =                                                  (2 1)
                                                     √︂

                                       | #»𝑎 |
                                                       (︁
                                                            #» #»)︁
                                                            𝑎, 𝑎 ,                                    .

                                                              #» #»
                                     cos(    ̂︂
                                            #»
                                            𝑎 𝑏
                                               #»
                                                     )=|     (𝑎, 𝑏 )

                                                                 |·| |
                                                             #» #»
                                                             𝑎      𝑏
                                                                         .                          (2 2)
                                                                                                      .




   Определение 2.3. Матрицей Грама векторов #»           #»           #»
                                                    𝑎 1, 𝑎 2, . . . , 𝑎

𝑛-мерного евклидова пространства E, 𝑘 6 𝑛, называется матрица
                                                                                                          𝑘




                                  ( #»#»1 #»#»1) ( #»#»1 #»#»2) · · · ( #»#»1 #»#» )
                                      ⎛
                                            𝑎 , 𝑎                𝑎 , 𝑎              𝑎 , 𝑎𝑘
                                                                                               ⎞



                           #» ) = ( 2 1 ) ( 2 2 ) · · · ( 2                        )
                                      ⎜                                                        ⎟


         ( #»
                                      ⎜                                                        ⎟
                                      ⎜     𝑎 , 𝑎                𝑎 , 𝑎              𝑎 , 𝑎𝑘 ⎟
                #»
       𝐺 𝑎 1, 𝑎 2, . . . , 𝑎 𝑘        ⎜
                                      ⎜  ..             ..      ...          .
                                                                             ..
                                                                                               ⎟
                                                                                               ⎟.
                                      ⎜   .              .                                     ⎟

                                  ( #» #»1) ( #» #»2) · · · ( #» #» )
                                      ⎝                                                        ⎠
                                            𝑎 𝑘, 𝑎               𝑎 𝑘, 𝑎             𝑎 𝑘, 𝑎 𝑘


                                  #» #»              #»
   Матрицу Грама векторов базиса 𝑓 1 , 𝑓 2 , . . . , 𝑓 пространства E           𝑛

называют матрицей метрических коэффициентов, поскольку она
позволяет находить скалярные произведения векторов, если извест-
ны их координаты в этом базисе: