Аффинные пространства. Скляренко В.А - 64 стр.

64                                                                                                                                   Евклидовы пространства


   Теорема 2.1. Пусть #»      #»            #»
                        𝑔 1 , 𝑔 2 , . . . , 𝑔 –– линейно независимая си-                         𝑘

стема векторов в евклидовом пространстве E. Тогда в E су-
ществует система векторов #»                #»            #»
                                      𝑒 1 , 𝑒 2 , . . . , 𝑒 , удовлетворяющая                                                    𝑘

условиям:
  1. Система #»   #»      #» ортогональна и нормирована;
              𝑒 , 𝑒 ,..., 𝑒     1        2                     𝑘


     2. Для каждого
              ⟨
                #»
                           значения
                            #» ⟩ ⟨
                                   #»
                                      𝑖
                                              #»   ⟩
                                                                        =1
                                               , . . . , 𝑘 линейные оболочки век-

        торов 𝑔 1 , . . . , 𝑔 и 𝑒 1 , . . . , 𝑒 совпадают.
                                             𝑖                                              𝑖




   Заметим, что векторы #»   #»           #» при этом определены с точ-
                        𝑒 1, 𝑒 2, . . . , 𝑒                                                      𝑘

ностью до знака.
   Векторы #»
            𝑒 строятся последовательно:
                  𝑖



                                                           #»
                                                           𝑒       1   = | #» | #»1;
                                                                                𝑔
                                                                                    1

                                                                                     1
                                                                                            𝑔                                                                                (2 5)
                                                                                                                                                                               .



если векторы #»            #»
             𝑒 1 , . . . , 𝑒 −1 уже построены, то𝑖


                                    #»                                                                       1  −
                           = | #» |                                             = #» − ( #»                                                   )                              (2 6)
                                                                                                            𝑖
                  #»                ℎ𝑖                                 #»                                   ∑︁
                                                                                                                                      #» #»
                  𝑒    𝑖                     ,           где           ℎ𝑖                𝑔   𝑖                           𝑔 𝑖, 𝑒          𝑒𝑗            𝑗.                      .
                                    ℎ𝑖                                                                      𝑗   =1

   Процедура, описанная формулами . ––                                                           (2 5) (2 6), называется про-        .

цессом ортогонализации Грама –– Шмидта.

     Пример 2.2. Применяя процесс ортогонализации Грама ––
Шмидта,
⟨            ⟩
               найти ортонормированный базис подпространства
  #»  #»  #»
  𝑢 , 𝑣 , 𝑤 , где векторы заданы своими координатами в стандартном

базисе пространства R4 : #» 𝑢      ,− ,− ,
                                              #»
                                            , 𝑣     , ,− , = (3 2 1 1)
                                                              #»
                                                            , 𝑤                                                                       = (1 0 3 3)                                  =
= (2 3 1 2)
       , ,− ,−    .

     Решение. Находим последовательно
                                                               ⎛√︃                                                                            ⎞


                          = | #»| #» =
                           #»
                           𝑒    1           −√ −√ √
                                             1

                                             𝑢
                                                     𝑢         ⎝
                                                                        3

                                                                        5
                                                                            ,
                                                                                            2

                                                                                            15
                                                                                                    ,
                                                                                                                     1

                                                                                                                     15
                                                                                                                             ,
                                                                                                                                     1

                                                                                                                                      15
                                                                                                                                              ⎠,




                       2 =
                           #» − ( #» #» ) #» = −
                                                                                            (︂                                                    )︂
                    #»
                      ℎ              𝑣  1   1       −    𝑣, 𝑒           𝑒
                                                                                                        4

                                                                                                        5
                                                                                                            ,
                                                                                                                6

                                                                                                                5
                                                                                                                     ,
                                                                                                                                 12

                                                                                                                                 5
                                                                                                                                      ,
                                                                                                                                          12

                                                                                                                                          5
                                                                                                                                                       ,
                                                               (︃                                                                                 )︃
                    #» =         #»
                                      = −√ √ −√ √
                                         1                                      2               3                        6                6

                           | | 2
                      𝑒
                      2     #»                       ℎ                                  ,               ,                        ,                     ,
                                     ℎ2                                         85               85                      85               85


             3 =
                 #» − ( #» #» ) #» − ( #» #» ) #» =
                                                                                                                (︂                                                  )︂
          #»
          ℎ      𝑤             1𝑤, 𝑒1         2  2   𝑒− −          𝑤, 𝑒                     𝑒
                                                                                                                     37

                                                                                                                     17
                                                                                                                          ,
                                                                                                                                 148

                                                                                                                                 51
                                                                                                                                          ,
                                                                                                                                                   58

                                                                                                                                                   51
                                                                                                                                                           ,
                                                                                                                                                               95

                                                                                                                                                               51
                                                                                                                                                                         ,