Аффинные пространства. Скляренко В.А - 66 стр.

66                                                                                                        Евклидовы пространства

                                          √︂
                                                                       √                                                           √
         | |=                        = (                       ) = 5 · 32 + 2 · 3 · 4 + 2 · 42 = 101;
                           ⃒   ⃒
                               # »             # » # »
                           ⃒   ⃒
             𝐴𝐵            ⃒𝐴𝐵 ⃒               𝐴𝐵, 𝐴𝐵



аналогично
                                                √                                                    √                         √
                      | |=                   = 17 | | = # » = 200 = 10 2
                                     ⃒
                                     # » ⃒                                         ⃒    ⃒
                                     ⃒   ⃒                                         ⃒    ⃒
                       𝐶𝐴            ⃒𝐶 𝐴⃒                 ,       𝐶𝐵              ⃒𝐶 𝐵 ⃒                                          ,

                                          = 5 · 1 · 4 + 1 · 1 · 6 + 1 · 2 · 4 √+ 2 · 2 · 6 = 58;
                  (︁   # » # »       )︁
                       𝐶 𝐴, 𝐶 𝐵


                                          cos \ 𝐴𝐶 𝐵   =√ · √ =         17
                                                                             58

                                                                              10    2
                                                                                              29

                                                                                                     170
                                                                                                          34
                                                                                                               .



                                           √                                            √
        Ответ.                 | | = 101; cos \
                               𝐴𝐵                                  𝐴𝐶 𝐵       =    29

                                                                                        170
                                                                                            34
                                                                                                 .
   Напомним, что 𝑘-мерным параллелепипедом, 𝑘 6 𝑛, с вершиной
в точке 𝐴0 ∈ 𝒜 , построенным на линейно независимых векторах
#»  #»      #» ∈ E, называют множество
𝑎 , 𝑎 ,..., 𝑎
    1        2                 𝑘




         Π=                    ∈𝒜: #0 »=
                            + + #» ( 1          ) ∈ [0 1]
                      {︁                                                                                                                       }︁
                           𝑀              𝐴 𝑀         𝑡1 𝑎 1
                                                            #»          ...        𝑡𝑘 𝑎 𝑘 ,          𝑡 , . . . , 𝑡𝑘                ,
                                                                                                                                           𝑘
                                                                                                                                                    .



   Вершинами параллелепипеда Π называют точки             такие,                                                               𝐴ε1 ...ε𝑘
    #
что 0
          »
            = ε1 1 + + ε , где ε = 0 или 1; 0 = 0 0. Па-
                #»
         𝐴 𝐴ε1 ...ε𝑘
                           #»         𝑎         ...                𝑎𝑘                                                    𝐴          𝐴

раллелепипед Π является выпуклой оболочкой своих вершин.
                                                               𝑘                    𝑖                                                      ...




   Симплексом размерности 𝑘 6 𝑛 с вершиной в точке 𝐴0 ∈ 𝒜 ,
построенным на векторах #»    #»           #» ∈ E, где #»
                         𝑎 1, 𝑎 2, . . . , 𝑎
                                                             #»            #»
                                                       𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 ––         𝑘                                                               𝑘

линейно независимы, называют множество

Σ=                : #0 »=                      + +                      (1                    ) ∈ [0 1]                       +· · ·+ 6 1
         {︁                                                                                                                                                     }︁
              𝑀       𝐴 𝑀
                                          #»
                                     𝑡1 𝑎 1     ...
                                                                 #»
                                                           𝑡𝑘 𝑎 𝑘 ,        𝑡 , . . . , 𝑡𝑘                  ,
                                                                                                                   𝑘
                                                                                                                       , 𝑡1                𝑡𝑘                        .



                                                           Σ
         Вершинами симплекса называют точки 𝐴 такие, что 𝐴0 𝐴
                                                                   # »
                                                                                                                                                                =
=       =1
                                                                                                               𝑖                                        𝑖
        #»
        𝑎 , 𝑖  , . . . , 𝑘 , и саму точку 𝐴 . Симплекс также является вы-
         𝑖                     0
пуклой оболочкой своих вершин.
   При = 2 параллелепипед естественно называть параллелограм-
                  𝑘

мом, а симплекс –– треугольником.
   Объемы (в двумерном случае площади) 𝑘-мерных параллелепи-
педа и симплекса вычисляются по формулам:

                                           |Π| = det ( #»1 #»2                                         )                                          (2 9)
                                                      √︁

                                                                   𝐺 𝑎 , 𝑎 ,..., 𝑎𝑘 ,
                                                                                                 #»                                                         .


                                          |Σ| = det ( #»1 #»2                                              )                                     (2 10)
                                                       √︁
                                                  1                                                  #»
                                                                      𝐺 𝑎 , 𝑎 ,..., 𝑎𝑘 .                                                                .
                                                  𝑘!