Аффинные пространства. Скляренко В.А - 67 стр.

Метрические характеристики геометрических объектов                                                                                                                            67


   Пример 2.4. Найти площадь треугольника △𝐴𝐵𝐶 с вершинами
  ( 1 3 0 6 2) (3 5 1 4 5) (1 4 1 1 3)
𝐴 − , , ,− ,   , 𝐵 , , , − , , 𝐶 , , , , и координаты основа-
ния высоты, опущенной из точки 𝐵 на сторону 𝐴𝐶 .
                                                                                              # » # »
     Решение. Находим векторы                                                                𝐴𝐵  , 𝐴𝐶 и их матрицу Грама:

                                              ) = 34    28
                                                                                                                                                           ⎛                  ⎞
# »
𝐴𝐵 = (4 2 1 2 3)     = (2 1 1 7 1);
                      ,      ,       , ( ,       ,
                                                      # »
                                                    28 56
                                                      𝐴𝐶                ,        ,        ,       ,                      𝐺 𝐴𝐵, 𝐴𝐶
                                                                                                                                      # » # »              ⎝                  ⎠.




Площадь треугольника можно вычислить по формуле (2 10):                                                                                                    .

                                                                        √︂
                                                                                                                                          √
                                             |△      𝐴𝐵𝐶      | = det ( #
                                                                    1

                                                                    2
                                                                                          𝐺 𝐴𝐵, 𝐴𝐶
                                                                                                          » # »
                                                                                                                         ) = 2 70              .



   Пусть точка 𝐻 –– основание высоты. Тогда 𝐴𝐶 ⊥𝐵𝐻 . Но 𝐵𝐻
                                              # » # »         # »
                                                                                                                                                                              =
= 𝐴𝐻 − 𝐴𝐵
  # » # »
                                     =
               λ𝐴𝐶 − 𝐴𝐵 . Из уравнения 𝐴𝐶 , λ𝐴𝐶 − 𝐴𝐵
         # » # »
                 # » # »                 # » # » # »
                                                               нахо-                                                 (                                     )=0
             =                                   =                  =                             = 1
                                   (︂          )︂
        (𝐴𝐶 , 𝐴𝐵)   1   # » 1 # »      1 1 7 1
дим λ    # » # »      , 𝐴𝐻    𝐴𝐶      , , , ,    , и, следовательно,
                       (𝐴𝐶 , 𝐴𝐶 )                     2                      2                                  2        2        2    2


         0
    (︂                        )︂

𝐻        ,
             7

             2
                 ,
                     1

                     2
                         5 5
                         ,   −   2
                                     ,
                                         2
                                             .
                                                          √
                                 |△                  | = 2 70;                            0                   − 52
                                                                                     (︁                                      )︁
                                                                                                  7 1                    5
     Ответ.                              𝐴𝐵𝐶                                 𝐻                ,
                                                                                                  2, 2,              ,
                                                                                                                         2        .
                                                              =          +                                                                 =       +
                                                                                 ⟨                                   ⟩                                 ⟨   #»            #»       ⟩
    Пусть плоскости 𝒫1 𝑀1                                   и 𝒫2 𝑀 2                 #»
                                                                                     𝑎
                                                                                                    #»
                                                                                              ,..., 𝑎
                                                                                 𝑏 1, . . . , 𝑏
                                              1                                                                 𝑘                                                             𝑚

скрещиваются или параллельны.                  Обозначим через         #»            #» какой-
                                                                        𝑐 1, . . . , 𝑐                                                                          𝑟
                                  ⟨                                ⟩
либо базис пространства #»                       #» #»          #»
                                    𝑎 1, . . . , 𝑎 , 𝑏 1, . . . 𝑏   . Расстояние меж-                 𝑘                                𝑚

ду 𝒫1 и 𝒫2 можно найти как высоту параллелепипеда размерно-
сти 𝑅
#    » #»
             𝑟   = +1 #»
                         с вершиной в точке 𝑀1 , построенного на векторах
𝑀1 𝑀2 , 𝑐 1 , . . . , 𝑐 , основание которого–– параллелепипед размерности
                                             𝑟

𝑟 с вершиной в точке 𝑀1 , построенный на векторах 𝑐 1 , . . . , 𝑐 :
                                                                        #»             #»
                                                                                                                                                                    𝑟


                                                                  ⎯
                                                                  ⎸                  #
                                                                                     » #»
                                                              =                                                                                                         (2 11)
                                                                  ⎸                                  #»
                                                                  ⎷ det 𝐺(𝑀1 𝑀2 , 𝑐       1, . . . , 𝑐 𝑟 )
                                                          𝑑                        #»          #»          .                                                              .
                                                                            det 𝐺( 𝑐 , . . . , 𝑐 )    1              𝑟



   Если система координат в аффинном пространстве 𝒜 прямо-
угольная, то расстояние от точки 𝑀0 𝑥10 , . . . , 𝑥0 до гиперплоскости                                    (                           𝑛
                                                                                                                                          )
    :
𝒫 𝐴1 𝑥1 . . . 𝐴 𝑥     𝐵  + + проще найти по формуле
                                                 𝑛
                                                      𝑛
                                                          + =0
                                                          𝑑 =
                                                              |              1
                                                                    𝐴1 𝑥0 + . . . + 𝐴𝑛 𝑥0 + 𝐵
                                                                        √︁                    .
                                                                                                                𝑛
                                                                                                                                  |                                     (2 12)
                                                                                                                                                                          .
                                                                                         2                       2
                                                                                 𝐴1 + . . . + 𝐴𝑛