Аффинные пространства. Скляренко В.А - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Метрические характеристики геометрических объектов 69
#» #» #»
# »
#» #» #»
#» #» #»
Ответ. .
Пример 2.7. В четырехмерном пространстве заданы точки
, , и .
Найти:
i. Объем трехмерного симплекса ;
ii. Угол наклона ребра симплекса к плоскости основа-
ния ;
iii. Объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на век-
торах
# » # » # » # »
;
iv. Объем четырехмерного симплекса .
Решение.
C
Рис. 3
i. Находим векторы
# »
,
# »
,
# »
.
Объем симплекса
(рис. 3) равен
# » # » # »
ii. Площадь основания симплек-
са –– треугольника ––
находим как
# » # »
.
Если –– высота симплекса ,
Метрические характеристики геометрических объектов                                             69


                                              129 25 25
                                                     ⎛


                                       #» ) = 25 49 −15 ;
                                                                               ⎞



                         ( #»
                        𝐺 𝑢, 𝑣
                                #»
                                     1, 𝑣2
                                                     ⎜
                                                     ⎜
                                                                               ⎟
                                                                               ⎟


                                               25 −15 49
                                                     ⎝                         ⎠



                                    ⎯
                                    ⎸           # » #» #» #»
                                =                                        =7
                                    ⎸
                                    ⎷ det(𝐺(𝑀 𝐴, 𝑢 , 𝑣      1 , 𝑣 2 ))
                          𝑑                        #»  #»  #»              .
                                            det(𝐺( 𝑢 , 𝑣 , 𝑣 ))
                                                          1    2


   Ответ.       7.
  Пример 2.7. В четырехмерном пространстве заданы точки
𝑂(12 11 9 6) (2 0 6 0) (6 2 4 4) (1 3 9 1)
    ,  , , , 𝐴 , , , , 𝐵 ,− , , , 𝐶 , , ,− и 𝐷 ,− , ,− .                            (9 1 13 1)
Найти:
   i. Объем трехмерного симплекса                         𝐴𝐵𝐶 𝐷      ;
  ii. Угол наклона ребра               𝐴𝐷      симплекса           𝐴𝐵𝐶 𝐷      к плоскости основа-
      ния 𝐴𝐵𝐶 ;
 iii. Объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на век-
            # » # » # » # »
      торах 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶 , 𝑂𝐷;
  iv. Объем четырехмерного симплекса                            𝑂𝐴𝐵𝐶 𝐷         .

   Решение.
 i. Находим векторы
# »
𝐴𝐵   = (4 2 2 4)
         ,− ,− , ,                                                                      D
# »
𝐴𝐶   = ( 1 3 3 1)
       − , , ,− ,
# »
𝐴𝐷   = (7 1 7 1)
         ,− , ,− .
Объем симплекса 𝐴𝐵𝐶 𝐷
               =
(рис. 3) равен 𝑉
          √︂

 =   1

     3!
           det( ( #   » # » # »
               𝐺 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 , 𝐴𝐷          )) =      80

                                                 3
                                                     .        A                         H
                                                                                              C

 ii. Площадь основания симплек-
са 𝐴𝐵𝐶 𝐷 –– треугольника △𝐴𝐵𝐶 ––
находим как
          √︂

𝑆    = 1

       2!
               det( (
                 # » # »
              𝐺 𝐴𝐵, 𝐴𝐶         .     )) = 10                                  B
Если 𝐷𝐻 –– высота симплекса 𝐴𝐵𝐶 𝐷,
                                                                               Рис. 3

Страницы