Аффинные пространства. Скляренко В.А - 70 стр.

70                                                                                                          Евклидовы пространства


опущенная на основание 𝐴𝐵𝐶 , то |𝐷𝐻 |                                                   =   3𝑉

                                                                                             𝑆
                                                                                                  = 8, а синус угла \                                           𝐷𝐴𝐻

можно найти как отношение
                                  |𝐷𝐻        |=                            8
                                                                                                          =     4

                                  |𝐴𝐷        |    √︁
                                                     7
                                                         2   +(   −   1)
                                                                           2   +7
                                                                                    2   +(   −   1)
                                                                                                      2         5
                                                                                                                    .



                                                                                                                                                        # » # »
 iii. Объем параллелепипеда, построенного на векторах                                                                                                   𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 ,
      # » # »
      𝑂𝐶 , 𝑂𝐷 , находим по формуле . :                                         (2 9)
                                         √︂

                                             det ( #
                                             ) = 960          » # » # » # »
                                                     𝐺 𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶 , 𝑂𝐷                                                      .



     iv. Четырехмерный объем симплекса           в 4! = 24 раза мень-                   𝑂𝐴𝐵𝐶 𝐷

         ше объема соответствующего параллелепипеда:      = 40.                                                                     960

                                                                                                                                    24




      Ответ.        i.
                         80

                         3
                              ; ii.     arcsin       4

                                                     5
                                                         ; iii. 960; iv. 40.

2.3. Задачи
      Задача 2.1. Найти матрицу Грама системы векторов
      𝑎) 𝑎, 𝑏 ∈ R ,
         #»  #»   2

      𝑏)𝑎, 𝑏 , 𝑐 ∈ R ,
        #»  #» #»   5

заданных своими координатами в ортонормированном базисе.

     1.    𝑎   ) #» = (−2 −1) #» =#» (1 0);
                𝑎             ,          , 𝑏              ,

           𝑏   ) #» = (2 2 2 1 1) = (2 −2 −1 −1 0) #» = (−2 2 1 0 −2)
                𝑎        ,    ,    ,    ,      , 𝑏            ,            ,        ,        ,        , 𝑐                           ,       ,       ,   ,           .


     2.    𝑎   ) #» = (3 1) #» = (−#»2 1);
                𝑎        ,        , 𝑏                ,

           𝑏   ) #» = (1 2 2 1 2) = (2 0 0 0 0) #» = (0 −2 −1 1 2)
                𝑎        ,    ,    ,    ,      , 𝑏            ,       ,    ,    ,       , 𝑐                 ,           ,               ,       ,       .


     3.    𝑎   ) #» = (3 −2) #» = #»(2 −1);
                𝑎        ,             , 𝑏           ,

           𝑏   ) #» = (2 2 1 2 1) = (−1 0 −2 −2 1) #» = (1 −2 −1 2 −2)
                𝑎        ,    ,    ,    ,      , 𝑏                ,        ,        ,        ,        , 𝑐                   ,               ,           ,   ,           .


     4.    𝑎   ) #» = (2 −2) #» = #»(0 −3);
                𝑎        ,             , 𝑏           ,

           𝑏   ) #» = (2 1 2 2 2) = (2 −1 2 2 1) #» = (2 −1 −1 1 0)
                𝑎        ,    ,    ,    ,      , 𝑏            ,            ,   ,    ,       , 𝑐                 ,               ,           ,       ,       .


     5.    𝑎   ) #» = (2 −2) #» = #»(1 0);
                𝑎        ,             , 𝑏           ,

           𝑏   ) #» = (1 2 1 2 2) = (−1 1 −1 0 −2) #» = (1 1 1 1 −2)
                𝑎        ,    ,    ,    ,      , 𝑏                ,        ,        ,   ,             , 𝑐                   ,       ,       ,       ,           .


     6.    𝑎   ) #» = (3 −2) #» = #»(2 −2);
                𝑎        ,             , 𝑏           ,

           𝑏   ) #» = (1 1 1 1 1) = (1 1 0 2 1) #» = (1 −2 −1 1 1)
                𝑎        ,    ,    ,    ,      , 𝑏            ,       ,    ,    ,       , 𝑐                 ,           ,               ,       ,       .