Аффинные пространства. Скляренко В.А - 68 стр.

68                                                                                                            Евклидовы пространства


   Пример 2.5. Найти расстояние от точки 𝑀 −                                                      ( 14 −6 −2 2):             ,        ,       ,

      )
   𝑎 до гиперплоскости 𝒫1 𝑥 −
                              1
                                      𝑥 −
                                       2
                                            𝑥 −
                                             3
                                                  𝑥
                                                    4
                                                       :                 6                 2 5 + 17      = 0;
      )                                  = +
                           𝑣 1 , 𝑣 2 , где 𝐴 − , , ,                                        ( 1 2 2 3) 1=(−12 1 0 1)
                         ⟨          ⟩
   𝑏 до плоскости 𝒫2 𝐴
                           #»    #»                                                                   #»                    , 𝑣                   , , ,   ,
#»
𝑣2   = (0 0 1 1)
       , ,− ,  .

     Решение.            𝑎 ) Воспользуемся формулой (2 12):                                              .

                                                                                                              √
                             𝑑1   =   √︁
                                          |−      14 + 36 + 4             −   10 + 17           |        =         66
                                                                                                                        .
                                          1
                                              2   +(   −   6)
                                                                2   +(   − 2 2)       +(   −    5)
                                                                                                     2             2




     𝑏   ) Заметим, что векторы #»1
                               2
                                  # »
                             #» и 𝐴𝑀   −               𝑣    , 𝑣                            = ( 13 −8 −4 −1) линейно
                                                                                                              ,         ,         ,

независимы. В соответствии с формулой .                                                     (2 11) расстояние от точки
𝑀 до плоскости 𝒫2 может быть найдено так:


                             250 147 3⎛                                  ⎞



                                                ( #»1 #»2) = 146 1
                                                                                                                                 ⎛                ⎞


          ( # » #» #»
     𝐺 𝐴𝑀 , 𝑣     1   2) =
                     , 𝑣     147 146 1⎜
                                      ⎜
                                                              1 2
                                                                         ⎟
                                                                         ⎟
                                                                         ⎠,                 𝐺 𝑣              , 𝑣                 ⎝                ⎠,


                              3 1 2
                                      ⎝




              det ( # » #»1 #»2) = 29100 det ( #»1 #»2) = 291
                𝐺 𝐴𝑀 , 𝑣                 , 𝑣
                                                  ⎯
                                                                         ,                          𝐺 𝑣           , 𝑣                     ,

                                      # » #» #»   ⎸


                           2 =                  = 10
                                                  ⎸
                                                  ⎷ det 𝐺(𝐴𝑀 , 𝑣                  1,   𝑣   2)
                                     𝑑  #» #»                                                                .
                                                           det 𝐺( 𝑣          1,   𝑣   2)

                         √
     Ответ.      𝑎)          66
                             2 ; 𝑏   ) 10.
   Пример 2.6. Найти расстояние между прямой ℓ, проходящей че-
                (4 1 10 5) (22 9 2 13)
рез точки 𝐴 , − , − , − и 𝐵 , − , − , − , и плоскостью, про-
ходящей     через        (0 2 2 1)
                  точку 𝑀 , − , , − параллельно подпространству
     =               = (1 4 4 4) = (1 4 4 4)
                         ,− ,− ,−         ,− , ,
    ⟨        ⟩
L    ⃗
     𝑣1 , ⃗
                   #»
          𝑣2 , где 𝑣 1
                                     #»
                                   , 𝑣2          .

   Решение. Вектор 𝐴𝐵
                     # »
                              ,− , ,−               = (18 8 8 8)
                                       , поэтому в качестве на-
правляющего вектора ℓ можно взять вектор #»
                                         𝑢     ,− , ,−   . Век-                                                = (9 4 4 4)
    # »
тор 𝑀 𝐴      = (4 1 12 4)
           , ,−  ,−   . Используя формулу . , последователь-                                                 (2 11)
но находим

                                                         177        ⎛
                                                                                        0             64           −64           ⎞




                     (   # » #» #»                #» ) =  0         ⎜
                                                                    ⎜
                                                                                       129            25            25           ⎟
                                                                                                                                 ⎟


                                                          64                            25            49           −15
                                                                    ⎜                                                            ⎟
                𝐺        𝑀 𝐴, 𝑢 , 𝑣        1, 𝑣     2               ⎜                                                            ⎟,
                                                                    ⎜                                                            ⎟


                                                         −64                           25            −15           49
                                                                    ⎝                                                            ⎠