Аффинные пространства. Скляренко В.А - 65 стр.

Метрические характеристики геометрических объектов                                                                                                   65


                                    (︃    √                   √                              √                       √            )︃
        #»
        𝑒    3   = | #» | 3 =
                     1

                    ℎ3
                         #»
                         ℎ
                                         37   46614

                                          15538
                                                      ,
                                                          74      46614

                                                              23307
                                                                                ,   −    29

                                                                                             23307
                                                                                                  46614
                                                                                                            ,   −   95

                                                                                                                     46614
                                                                                                                          46614
                                                                                                                                       .



                         =                                                                   =
                              (︂√︁                                         )︂                     (︂                                            )︂

   Ответ.
         √
                1
                  √
                    #»
                    𝑒
                       3
                       5,                − √215√ , − √115 , √√115               ,
                                                                                    #»
                                                                                    𝑒    2             − √2 , √3
                                                                                                            85       85
                                                                                                                          , −√ , √
                                                                                                                              6
                                                                                                                              85
                                                                                                                                  6
                                                                                                                                           85
                                                                                                                                                     ,


   =
    (︂                                                                              )︂
#»
𝑒3
       37 46614 74 46614
         15538 , 23307 ,                 − 2923307
                                               46614
                                                     − 9546614
                                                          ,
                                                           46614
                                                                                         .

   Далее, если не сказано обратное, будем считать, что базис линей-
ного евклидова пространства E ортонормирован.

2.2. Евклидовы аффинные пространства.
     Метрические характеристики геометрических объектов
   Определение 2.4. Аффинное пространство 𝒜 называется ев-
клидовым аффинным, или евклидовым точечным, пространством,
если ассоциированное с ним линейное пространство E евклидово.

   Систему координат 𝑂 #»     #» в евклидовом аффинном простран-
                        𝑒1... 𝑒                               𝑛

стве называют прямоугольной, если базис #»              #» в ассоцииро-
                                           𝑒 1, . . . , 𝑒                                                            𝑛

ванном линейном пространстве ортонормирован.
   Скалярное произведение позволяет ввести в аффинном простран-
стве понятия расстояния, угла, площади и объема, свойства которых
аналогичны их свойствам, известным из элементарной геометрии.
   Расстояние |𝑀 𝑁 | между точками 𝑀, 𝑁 ∈ 𝒜 и косинус угла
\𝐴𝐶 𝐵, 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝒜 определяются формулами:
                                                                      √︂

                                |             |=                  =                                                                        (2 7)
                                                   ⃒
                                                   # »  ⃒               (︁      # » # »)︁
                                                   ⃒    ⃒
                                 𝑀𝑁                ⃒𝑀 𝑁 ⃒                    𝑀𝑁, 𝑀𝑁 ,                                                           .
                                                                      (︁                     )︁
                                                                           # » # »
                                          cos \    𝐴𝐶 𝐵           =   ⃒
                                                                      ⃒# »⃒
                                                                          ⃒
                                                                      ⃒𝐶 𝐴⃒
                                                                           𝐶 𝐴, 𝐶 𝐵


                                                                                    ·
                                                                                        ⃒
                                                                                        ⃒# » ⃒.
                                                                                             ⃒
                                                                                        ⃒𝐶 𝐵 ⃒
                                                                                                                                           (2 8).




   Пример 2.3. Найти длину стороны 𝐴𝐵 и     \𝐴𝐶 𝐵 треугольни-                                      cos
           (2 1) (5 3) (1 3)
ка △𝐴𝐵𝐶 , 𝐴 , − , 𝐵 , , 𝐶 , − ⎛, если известна матрица метри-
                                 5 1
                                    ⎞


ческих коэффициентов базиса =
                                 1 2                      𝐺           ⎝             ⎠.




   Решение. Находим
                      # »
                          = (3 4), # » = (1 2),
                                              𝐴𝐵                  ,         𝐶𝐴                         ,
                                                                                                                 # »
                                                                                                                 𝐶𝐵       = (4 6). Так
                                                                                                                                  ,

как система координат в пространстве не является прямоугольной,
то для вычисления скалярных произведений векторов используем
(2 3)
  . . Расстояния и углы находим по формулам . и . :                                                        (2 7) (2 8)