Аффинные пространства. Скляренко В.А - 63 стр.

Скалярное произведение. Матрица Грама. Ортогонализация                                                                                                                              63


            =                                           =                             =⇒ (                          )=               ( #»                )                    (2 3)
                  𝑛                                          𝑛                                                               𝑛
      #»         ∑︁
                              𝑠
                                  #»            #»          ∑︁
                                                                     𝑠
                                                                         #»                                #» #»            ∑︁               #»                  𝑖   𝑗
      𝑎                   𝑎 𝑓          𝑠,           𝑏                𝑏 𝑓      𝑠                            𝑎, 𝑏                       𝑓 𝑖, 𝑓         𝑗   𝑎 𝑏 .                  .
                 𝑠   =1                                     𝑠=1                                                            𝑖,𝑗   =1

   Заметим, что определитель матрицы Грама неотрицателен, при-
чем равенство         #» #»
                  𝐺 𝑎 1, 𝑎 2, . . . , 𝑎
                                   #»
                                       det (
                                       #»
                                         #»
                                             #»
                                                равносильно линейной зави-                     𝑘   )=0
симости системы векторов 𝑎 1 , 𝑎 2 , . . . , 𝑎 .
                                      #» ∈ E называется ортонормирован-
                                                                                                                𝑘

   Набор векторов #»      #»
                    𝑎 1, 𝑎 2, . . . , 𝑎

                          ( при 𝑖 ̸ 𝑗 и #»          )=0                           =                    (                 )=1                         =
                                                                                           𝑘

ным, если #»   #»
           𝑎 , 𝑎                   𝑖
                                                #»
                                            𝑎 , 𝑎
                                                𝑗       при 𝑖 𝑗 . Матрица                                   𝑖        𝑗

Грама ортонормированного набора векторов единична.
                #» #»             #»
   Если базис 𝑓 1 , 𝑓 2 , . . . , 𝑓 пространства E ортонормирован, то
                      (2 3)
                                                                            𝑛

формулы . вычисления скалярных произведений упрощаются:

                 =                                              =                                      =⇒ (                      )=                                           (2 4)
                           𝑛                                          𝑛                                                                  𝑛
            #»            ∑︁
                                       𝑠
                                           #»           #»           ∑︁
                                                                                  𝑠
                                                                                      #»                                 #» #»          ∑︁
                                                                                                                                                     𝑠       𝑠
            𝑎                     𝑎 𝑓           𝑠,      𝑏                   𝑏 𝑓            𝑠                             𝑎, 𝑏                    𝑎 𝑏 .                          .
                      𝑠   =1                                         𝑠=1                                                                𝑠   =1

   Пример 2.1. Найти матрицу Грама системы векторов, заданных
своими координатами в ортонормированном базисе:
𝑎 ⃗𝑎) = (3 2) = ( 1 1)
        ,−   , ⃗
               𝑏    −, ;
𝑏 ⃗
  𝑎 ) = (0 2 1 0 1) = (1 0 0 2 1) = (1 2 3 0 0)
        , , , ,    ⃗
                 , 𝑏   , , , , , ⃗
                                 𝑐   , , , , .

      Решение. ) По формулам (2 4) находим
                                       𝑎                                                           .




                                                                                                                                                 ) = −135 −25
                                                                                                                                                                 ⎛              ⎞


(   #» #»
    𝑎, 𝑎    ) = 13 (      ,
                                   #» #»
                                   𝑎, 𝑏             )=(         #» #»
                                                                 𝑏, 𝑎    ) = −5 (                  ,
                                                                                                       #» #»
                                                                                                       𝑏, 𝑏         ) = 2; (     𝐺
                                                                                                                                      #» #»
                                                                                                                                      𝑎, 𝑏                       ⎝              ⎠.




      𝑏  ) Аналогично предыдущему,
     ( #» #») = 6 ( #» #») = ( #» #») = 1 ( #» #») = ( #» #») = 7 ( #» #») = 6
      𝑎, 𝑎                    ,        𝑎, 𝑏                      𝑏, 𝑎                          ,       𝑎, 𝑐                𝑐, 𝑎                  ,           𝑏, 𝑏               ,

                                                                 6 1 7                                                                      ⎛                            ⎞



          ( ) = ( ) = 1 ( ) = 14; (
           #» #»
            𝑏, 𝑐
                     #» #»         #» #»   𝑐, 𝑏
                                                   #» #» #»
                                                            )= 1 6 1
                                                                 ,       𝑐, 𝑐                               𝐺 𝑎, 𝑏 , 𝑐
                                                                                                                                            ⎜
                                                                                                                                            ⎜
                                                                                                                                                                         ⎟
                                                                                                                                                                         ⎟
                                                                                                                                                                         ⎠.

                                                                 7 1 14
                                                                                                                                            ⎝




                                           ⎛
                                               13 −5
                                                                ⎞
                                                                                  ⎛
                                                                                      6 1 7                 ⎞



      Ответ.                  a)           ⎝
                                               −5 2
                                                                ⎠    ; b)
                                                                                  ⎜
                                                                                  ⎜
                                                                                      1 6 1                 ⎟
                                                                                                            ⎟
                                                                                                                .
                                                                                      7 1 14
                                                                                  ⎝                         ⎠



   На основании нижеследующей теоремы можно утверждать, что в
линейном евклидовом пространстве существует ортонормированный
базис.