Аффинные пространства. Скляренко В.А - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Аффинные преобразования 83
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
30.
.
3. Аффинные преобразования
3.1. Определение и основные свойства аффинных
преобразований
Пусть в аффинном пространстве 𝒜 фиксирована система коор-
динат . Отображение 𝒜 𝒜 , заданное формулами:
где –– невырожденная матрица ( ), называет-
ся аффинным преобразованием пространства 𝒜 . Отображение
каждой точке пространства 𝒜 ставит в соответствие
точку , также принадлежащую 𝒜 . При этом образом
начала координат, точки , является точка .
Замечание 3.1. В любой другой аффинной системе координат
формулы, определяющие отображение , имеют аналогичный вид.
Аффинное преобразование точечного пространства 𝒜 порожда-
ет линейное преобразование векторов в ассоциированном линейном
пространстве V, а именно: каждому вектору
#»
ста-
вится в соответствие вектор
#»
, координаты которого
определяются матрицей преобразования :
Аффинные преобразования                                                                                                                                                                83


 26.   𝑂   (8 9 7 8) (0 0 8 0) (4 −2 6 4)
             ,        ,       ,           , 𝐴         ,   ,       ,           , 𝐵             ,     ,       ,           ,

       𝐶   (−2 4 12 −2) (7 1 15 1).
                  ,         ,             ,           , 𝐷             ,       ,           ,

 27.   𝑂   (9 8 12 10) (5 −3 −1 −1) (7 −3 −1 1)
             ,        ,           ,            , 𝐴        ,               ,               ,        , 𝐵              ,               ,           ,           ,

       𝐶   (3 1 3 −3) (12 −4 6 −2).
             ,        ,       ,               , 𝐷             ,               ,       ,

 28.   𝑂   (9 6 10 7) (−2 0 0 −2) (4 0 0 4)
             ,        ,           ,           , 𝐴             ,       ,       ,               , 𝐵       ,       ,       ,           ,

       𝐶   (−2 6 6 −2) (5 −1 7 −3).
                  ,         ,     ,               , 𝐷             ,               ,       ,

 29.   𝑂   (6 9 10 8) (−1 −1 1 −3) (3 1 3 1)
             ,        ,           ,           , 𝐴             ,               ,       ,           , 𝐵       ,           ,       ,           ,

       𝐶   (−1 1 3 −3) (6 0 8 −2).
                  ,         ,     ,               , 𝐷             ,       ,       ,

 30.   𝑂   (8 10 12 6) (−1 −1 1 −3) (2 −2 0 0)
             ,            ,           ,        , 𝐴                ,               ,       ,        , 𝐵              ,               ,       ,       ,

       𝐶   (0 4 6 −2) (6 −2 8 −4).
             ,        ,       ,               , 𝐷         ,               ,       ,




3. Аффинные преобразования
3.1. Определение и основные свойства аффинных
     преобразований
   Пусть в аффинном пространстве 𝒜 фиксирована система коор-
динат 𝑂𝑥1 . . . 𝑥 . Отображение 𝐹 𝒜 → 𝒜 , заданное формулами:
                                      𝑛
                                                                                              :
                                              𝑥
                                               ′ 1 = 𝑎1 𝑥1 + 𝑎1 𝑥2 + . . . + 𝑎1 𝑥
                                                +1                                                                                  𝑛
                                                                                                                                                𝑏 ,
                                                      1       2
                                                +2 = 𝑎 𝑥 + 𝑎2𝑥2 + . . . + 𝑎2 𝑥
                                                                                                                            𝑛
                                               ′ 2
                                                                (3 1)
                                                      2 1                                                                           𝑛
                          1      2            𝑥                                                                             𝑛
                                                                                                                                                𝑏 ,
                                                                                                                                                                                   .
                                              ....................................
                   ′ =      1
                              + 2 2+ +        𝑥  +𝑛
                                                          𝑎 𝑥
                                                              𝑛
                                                                                      𝑎 𝑥
                                                                                          𝑛
                                                                                                    ...                 𝑎𝑛 𝑥
                                                                                                                            𝑛           𝑛
                                                                                                                                                    𝑏 ,
                                                                                                                                                        𝑛
                          1

где =                –– невырожденная матрица (det ̸= 0), называет-
            (︁        )︁
                  𝑖
   𝐴             𝑎𝑗                                                                                                                                         𝐴
                =1
ся аффинным преобразованием пространства 𝒜 . Отображение (3 1)
                           𝑖,𝑗        ,...,𝑛

                                                                                                                                                                                   .

каждой точке ( 1              ) пространства 𝒜 ставит в соответствие
                                      𝑀 𝑥 ,...,𝑥
                                                                      𝑛



точку  𝑀
        ′ ( ′ 1
                  𝑥
                    ′ ), также принадлежащую 𝒜 . При этом образом
                            ,...,𝑥
                                                  𝑛



начала координат, точки (0          0), является точка ′( 1      ).   𝑂               ,...,                                                                     𝑂   𝑏 ,...,𝑏
                                                                                                                                                                               𝑛




  Замечание 3.1. В любой другой аффинной системе координат
формулы, определяющие отображение 𝐹 , имеют аналогичный вид.

   Аффинное преобразование точечного пространства 𝒜 порожда-
ет линейное преобразование векторов в ассоциированном линейном
пространстве V, а именно: каждому вектору #»  𝑣
                                                     1
                                                    𝑣 ,...,𝑣 ста-                                                                                       =(                𝑛
                                                                                                                                                                              )
                            #»
вится в соответствие вектор 𝑣  ′  ′ 1
                                 𝑣 ,...,𝑣
                                          ′ , координаты которого                             =(                                𝑛
                                                                                                                                  )
определяются матрицей 𝐴 преобразования . :                                                                                      (3 1)

Страницы