Аффинные пространства. Скляренко В.А - 85 стр.

Определение и основные свойства аффинных преобразований                                           85


      при аффинном преобразовании объем 𝑉 параллелепипеда, по-
      строенного на произвольных векторах #»             #»
                                           𝑣 1 , . . . , 𝑣 , связан с объ-      𝑛

      емом 𝑉 ′ параллелепипеда, построенного на их образах, равен-
      ством 𝑉 ′ |  = det
                     𝐴|· 𝑉 . Число |              det
                                     𝐴| называют коэффициентом

      искажения объема (площади).

   Пример 3.1. Найти инвариантные прямые аффинного преобра-
зования
                                         𝑥
                                          ′ = 4𝑥 + 10𝑦 + 1,
                                         𝑦 = −3𝑥 − 7𝑦 + 1
                                          ′

и определить коэффициент                     { искажения площади.
   Решение. Пусть ℓ 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝐶      :           + + =0
                                        , где 𝐴2 𝐵 2 ̸       + =0
                                                         –– инва-
                                             ( )
риантная прямая. Точка 𝑀 𝑥, 𝑦 ∈ ℓ тогда и только тогда, когда ее
             (    )
образ 𝑀 ′ 𝑥′ , 𝑦 ′ ∈ ℓ, то есть 𝐴 𝑥 𝑦         (4 +10 +1)+ ( 3 7 +1)+ = 0
                                          𝐵 − 𝑥− 𝑦         𝐶    .
   Следовательно, последнее уравнение также является уравнением
прямой ℓ. Приведем его к виду

                 (4 − 3 ) + (10 − 7 ) + + + = 0
                   𝐴           𝐵 𝑥           𝐴    𝐵 𝑦           𝐴       𝐵   𝐶       .


   Два уравнения задают одну и ту же прямую тогда и только то-
                                            4𝐴 − 3𝐵 10𝐴 − 7𝐵
гда, когда их коэффициенты пропорциональны:
                                                                            𝐴
                                                                                    =   𝐵
                                                                                                  =
=   𝐴+𝐵 +𝐶

         𝐶
                 = λ, что равносильно системе уравнений
                                (4 − λ) − 3 = 0
                                 ⎧
                                 ⎪
                                 ⎪                𝐴         𝐵           ,

                               10 − (7 + λ) = 0                                             (3 3)
                                 ⎪
                                 ⎨
                                             𝐴              𝐵           ,                     .

                               + + (1 − λ) = 0
                                 ⎪
                                 ⎪
                                 ⎪
                                 ⎩
                                     𝐴       𝐵              𝐶           .


   Первые два уравнения системы относительно неизвестных                                𝐴   и     𝐵

имеют ненулевое решение лишь при условии
                         4 − λ −3 = 0
                                     ⃒                  ⃒
                                     ⃒                  ⃒
                                     ⃒                  ⃒

                           10 −7 − λ
                                     ⃒                  ⃒
                                     ⃒                  ⃒           ,
                                     ⃒                  ⃒



то есть λ = −1 или λ = −2. При λ = −1 получим, решая систему (3 3),                          .

𝐴 = , = − , где –– свободное неизвестное. Полагая = 5,
     3
         𝐵   𝐶
                       4
                           𝐵         𝐵                                                  𝐵

найдем уравнение инвариантной прямой 1 : 3 + 5 − 4 = 0.
     5                 5
                                                                ℓ       𝑥   𝑦