Аффинные пространства. Скляренко В.А - 84 стр.

84                                                                                     Аффинные преобразования

                        ⎛
                          ′1 ⎞
                            𝑣
                                            ⎛
                                                 1
                                                𝑎1    𝑎2
                                                        1
                                                                ...   𝑎𝑛
                                                                           1
                                                                               ⎞⎛
                                                                                       𝑣
                                                                                           1
                                                                                               ⎞


                        ⎜ ′2 ⎟
                        ⎜    ⎟              ⎜                                  ⎟⎜              ⎟
                                            ⎜ 2         2                  2 ⎟ ⎜ 2⎟
                        ⎜𝑣 ⎟
                        ⎜
                        ⎜
                        ⎜
                            ..
                             .
                                    ⎟
                                    ⎟
                                    ⎟
                                        =   ⎜ 𝑎1
                                            ⎜
                                            ⎜
                                            ⎜
                                                ..
                                                 .
                                                      𝑎2
                                                       ..
                                                        .
                                                                ...
                                                                ...
                                                                      𝑎𝑛 ⎟ ⎜ 𝑣 ⎟
                                                                          ..
                                                                           .
                                                                               ⎟
                                                                               ⎟
                                                                               ⎟
                                                                                   ⎜
                                                                                   ⎜
                                                                                   ⎜
                                                                                       ..
                                                                                        .
                                                                                               ⎟
                                                                                               ⎟.
                                                                                               ⎟
                                                                                                                            (3 2)   .
                        ⎝
                            𝑣
                                ′
                                𝑛
                                    ⎠       ⎝
                                                 𝑛
                                                𝑎1    𝑎2
                                                        𝑛
                                                                ...   𝑎𝑛
                                                                           𝑛
                                                                               ⎠   ⎝
                                                                                       𝑣
                                                                                           𝑛
                                                                                               ⎠




    Пусть при преобразовании . векторы базиса #»     (3 2)                        #» пере-
                                                                     𝑒 1, . . . , 𝑒                                     𝑛

ходят соответственно в векторы #»            ′           #»′
                                           𝑒 1 , . . . , 𝑒 . Поскольку вектор ба-

               = (0 0 1 0                   0)                                         ′           (3 2)                                =
                                                                               𝑛

зиса #»𝑒      ,..., , , ,...        , то по формулам . найдем #»                     𝑒

=(                ) =1
           𝑖                                                                                                                    𝑖
     1
    𝑎 ,...,𝑎
      𝑖
             , 𝑖𝑛
                𝑖
                     , . . . , 𝑛, то есть столбцы матрицы 𝐴 аффинного

преобразования образованы координатами образов базисных векто-
ров.
    Так как     𝐴 ̸ det = 0
                        , то векторы #»     𝑒
                                               ′           1
                                                         𝑎 ,...,𝑎𝑖
                                                                  =(–– линейно неза-
                                                                               𝑖
                                                                                                    𝑛
                                                                                                    𝑖
                                                                                                        )
висимы и, следовательно, образуют базис. Таким образом, матрица
𝐴 –– матрица перехода к базису 𝑒
                                       #»′           1
                                                   𝑎 ,...,𝑎 𝑖
                                                                =(
                                                                . Если𝑖
                                                                                𝐴 >    , то𝑛
                                                                                           𝑖
                                                                                               )                  det       0
есть базисы одноименны, то аффинное преобразование сохраняет
ориентацию пространства; такое преобразование называют соб-
ственным. Если          det             0
                        𝐴 < , то аффинное преобразование называют

несобственным.
    Сформулируем некоторые свойства аффинных преобразований.
     1. Аффинное преобразование взаимно однозначно. Преобразова-
        ние, обратное к аффинному, также является аффинным.
     2. Композиция аффинных преобразований –– аффинное преобра-
        зование.
     3. При аффинном преобразовании сохраняется линейная зависи-
        мость (линейная независимость) векторов. В частности, образы
        коллинеарных векторов коллинеарны, при этом отношение кол-
        линеарности сохраняется.
     4. Образом любой 𝑘-мерной плоскости при аффинном преобразо-
        вании является плоскость той же размерности 𝑘. В частности,
        образом прямой является прямая.
                                                            1
          Плоскость размерности 𝑘 > , образом которой является сама
          эта плоскость, называют инвариантной для данного аффин-
          ного преобразования.
     5. Если в 𝑛-мерном аффинном пространстве введена евклидова
        структура, то геометрический смысл имеет и | 𝐴|, а именно:                                          det