Аффинные пространства. Скляренко В.А - 86 стр.

86                                                                       Аффинные преобразования


   Аналогично для λ         = 2
                         − получим множество решений вида 𝐵                                        =
=2 𝐴, 𝐶      =
           −𝐴 , где 𝐴 –– любое действительное число. Пусть 𝐴 ,                                    =1
тогда ℓ2 𝑥   : +2
             𝑦 −           1=0
                         –– еще одна инвариантная прямая данного
аффинного преобразования.
   Коэффициент искажения площади равен определителю матрицы
преобразования

                                { = −43 −107 = 2
                                       ⃒            ⃒
                                       ⃒            ⃒
                                       ⃒            ⃒
                                       ⃒            ⃒
                                       ⃒            ⃒        .
                                       ⃒            ⃒



Ответ.       ℓ   1 : 3 + 5 − 4 = 0; 2 :
                    𝑥      𝑦       ℓ    + 2 − 1 = 0; { = 2.
                                           𝑥    𝑦



3.2. Примеры аффинных преобразований. Движения
   Ограничимся случаем евклидовых аффинных пространств малой
размерности: прямой, плоскости и трехмерного пространства.
   Гомотетией с центром в точке 𝐶 и коэффициентом 𝑘 > на-                                        0
зывается преобразование, которое каждой точке 𝑀 ∈ 𝒜 ставит в
соответствие точку 𝑀 ′ ∈ 𝒜 такую, что 𝐶 𝑀 ′
                                      # »      # »
                                             𝑘 𝐶 𝑀 . В системе ко-       =
ординат с началом в точке 𝐶 гомотетия трехмерного пространства
определяется формулами

                                       𝑥
                                        ′ = 𝑘𝑥,
                                       𝑦 = 𝑘𝑦,
                                        ′
                                       𝑧 = 𝑘𝑧.
                                        ′

                                                        (5 8 7)
   Пример 3.2. Найти образ точки 𝑀 , − , при гомотетии с цен-
                        ( 9 2 5)
тром в точке 𝐶 − , , − и коэффициентом 𝑘
                                                  4

                                                  3
                                                    .         =
   Решение. Пусть 𝑂 –– начало координат. Найдем координаты точ-
                                                (
                          ки 𝑀 ′ 𝑥′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ как координаты ее    )
M    0
                          радиус-вектора (рис. 4):
M                                          #
                                           𝑂𝑀
                                               »′
                                                    = # »+ #𝑂𝐶           𝐶𝑀
                                                                             »′
                                                                                  = # »+
                                                                                   𝑂𝐶
                                                                                           4

                                                                                           3
                                                                                               # »
                                                                                               𝐶𝑀 .


                                                                 # »
                                     Так как координаты векторов 𝑂𝐶                                   =
         C                         = ( 9 2 5)
                                      − , ,−   , = (14 10 12)
                                                 # »
                                                 𝐶𝑀       ,−   ,   , то
                                       =      11
                                   # »′ (︂ 29 34    )︂

                                             ,−        .
                  Рис. 4       O   𝑂𝑀            ,
                                                        3        3