Аффинные пространства. Скляренко В.А - 88 стр.

88                                                                                                     Аффинные преобразования


Тогда
              # »
              𝑀𝐶      = ( 0 −3 0 − 0),
                               𝑡 ,          𝑡 ,       𝑡
                                                                   #
                                                                   𝑀𝑀
                                                                           »′
                                                                                =       3

                                                                                        4
                                                                                            # »
                                                                                            𝑀𝐶 , а 𝑂𝑀 ′
                                                                                                   # »
                                                                                                                   =    # »
                                                                                                                        𝑂𝑀    +#
                                                                                                                               𝑀𝑀
                                                                                                                                        »′
                                                                                                                                             =
= ¯+                  ¯− 0 ¯− 0 .
     (︂                                                   )︂
              3                9                  3
          𝑥       𝑡0 , 𝑦           𝑡 ,𝑧               𝑡
              4                4                  4
   Подставляя в последнее равенство значение                                                                 𝑡0   , найдем координа-
ты радиус-вектора 𝑂𝑀 ′ :
                  # »


                                             𝑥
                                                 ′=    (41¯ + 9¯ + 3¯ + 9)
                                                           1
                                                                       𝑥            𝑦         𝑧         ,
                                                           44


                                            𝑦
                                                ′ = (9¯ + 17¯ − 9¯ − 27)
                                                          1
                                                                   𝑥            𝑦            𝑧           ,
                                                          44


                                             𝑧
                                                 ′ = (3¯ − 9¯ + 41¯ − 9)
                                                           1
                                                                       𝑥        𝑦             𝑧         .
                                                          44


   Поскольку здесь 𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝑧                      (¯ ¯ ¯) –– произвольная точка пространства,
то полученные равенства и есть искомые формулы аффинного пре-
образования в заданной системе координат.

      Ответ.  (41 +9 +3 +9)′=
                           𝑥
                                       1
                                                𝑥              𝑦       𝑧            , 𝑦
                                                                                            ′=    1
                                                                                                       (9 +17 − 9 − 27)
                                                                                                        𝑥           𝑦    𝑧         , 𝑧
                                                                                                                                         ′=
                                       44                                                         44

= (3 − 9 + 41 − 9)
      1

     44
              𝑥       𝑦                𝑧          .


   Движение –– аффинное преобразование евклидова аффинного
пространства, сохраняющее расстояние между точками, то есть такое
преобразование, что для любых точек 𝑀1 , 𝑀2 и их образов 𝑀1′ , 𝑀2′
выполняется равенство |𝑀1 𝑀2 | |𝑀1′ 𝑀2′ |.                                 =
   Порожденное движением линейное отображение ассоциированно-
го линейного пространства оставляет неизменными длины векторов.
В случае одномерного векторного пространства таким свойством об-
ладают лишь отображения вида #» 𝑣
                                  ′ #»     #»′ − #»
                                     𝑣 или 𝑣     𝑣.                             =                            =
   Теорема 3.1. Аффинное преобразование прямой 𝑥′        = +                                                                       𝑎𝑥        𝑏

является движением тогда и только тогда, когда |𝑎|      = 1.
   Пример 3.4. Найти движение прямой, переводящее точку (3)                                                                         𝑀

в точку ′ (4), если это движение является: ) собственным, ) несоб-
                  𝑀                                                                                𝑎                          𝑏

ственным.

                                   )
   Решение. 𝑎 Согласно теореме 3.1 любое собственное движение
прямой задается формулой 𝑥′ 𝑥 𝑏. Так как 𝑥      ,𝑥
                                                   ′    , то 𝑏 .       = +                           =3 =4   =1
   𝑏      )
      Согласно теореме 3.1 любое несобственное движение прямой
задается формулой 𝑥′ −𝑥 𝑏. Так как 𝑥       ,𝑥
                                             ′  =, то 𝑏     .      +                              =3 =4   =7