Аффинные пространства. Скляренко В.А - 90 стр.

90                                                                                              Аффинные преобразования


                                ( )
    Решение. Пусть 𝑀 𝑥, 𝑦 –– произвольная точка плоскости. Най-
                   (   )
дем точку 𝑀 ′ 𝑥′ , 𝑦 ′ , симметричную точке 𝑀 относительно прямой
ℓ. Для этого составим систему уравнений относительно неизвестных
  ′   ′
𝑥 и 𝑦 . Так как вектор 𝑀 𝑀
                           # »′     ′      ′        =(
                                   𝑥 − 𝑥, 𝑦 − 𝑦 коллинеарен вектору                             )
#»
𝑛    = (2 1)
        ,−  нормали к прямой, то
                                            𝑥
                                                ′
                                                    −   𝑥
                                                            =   𝑦   −
                                                                    ′
                                                                                𝑦
                                                                                                                                                 (3 4)
                                                    2               −       1
                                                                                    .                                                              .


                                                                                                            (︃                             )︃

     Кроме того, середина отрезка 𝑀 𝑀 ′ , точка
                                                                                                                  ′            ′
                                                                                                                 𝑥 + 𝑥        𝑦 + 𝑦
                                                                                                    𝐶                     ,                     , при-
                                                                                                                      2            2
надлежит оси симметрии, то есть

                           4·            +5=0       −2·         (3 5)
                                    ′                           ′
                                𝑥 + 𝑥                       𝑦 +𝑦
                                                                                                    .                                              .
                                        2                           2



     Преобразовав уравнения (3 4) и (3 5), запишем систему линейных
                                                    .                   .

уравнений
                            ⎧
                            ⎨𝑥
                               ′ + 2𝑦 ′ = 𝑥 + 2𝑦,
                            ⎩
                              2𝑥′ − 𝑦′ = −2𝑥 + 𝑦 − 5.
     Решение системы и есть искомые формулы симметрии.

     Ответ.    𝑥
                ′ = − 3 𝑥 + 4 𝑦 − 2, 𝑦 ′ =                          4
                                                                        𝑥       + +1    3
                                                                                            𝑦           .
                       5        5                                   5                   5



   Замечание 3.2. Другой способ решения задачи 3.5 основан на
переходе к новой аффинной системе координат 𝑂′ 𝑢𝑣 , «канонической»
для данной задачи. В качестве векторов нового базиса возьмем, на-
пример, #»
         𝑒1    = (1 2)
                 ,   –– вектор, коллинеарный оси симметрии, и #»𝑒2                                                                                     =
= (2 1)
    ,−   –– вектор, ей перпендикулярный. Начало координат    перене-
                                                                                                                                       0
                                                          (︂    )︂

сем в любую точку оси симметрии, например, положим 𝑂′ , .
                                                              5

                                                              2
   Формулы, выражающие старые координаты через новые, имеют
      (1 10)
вид . :

                                                = +2
                                                                                                                                                 (3 6)
                                            𝑥           𝑢           𝑣,


                                            𝑦   =2 − +  𝑢           𝑣
                                                                                    5

                                                                                    2
                                                                                        ,
                                                                                                                                                   .




откуда найдем