Аффинные пространства. Скляренко В.А - 89 стр.

Примеры аффинных преобразований. Движения                     89


             ) = +1 ) =
   Ответ. 𝑎 𝑥′ 𝑥      , 𝑏 𝑥′ −𝑥    .    +7
   Аналогично движениям прямой движения евклидовых прост-
                    2
ранств размерности 𝑛 > выделяются из класса всех аффинных
преобразований специальным видом матрицы 𝐴, а именно справед-
лива следующая теорема.

                                                    (3 1)
   Теорема 3.2. Аффинное преобразование . тогда и толь-
ко тогда является движением, когда в прямоугольной системе
координат его матрица 𝐴 ортогональна.

  Рассмотрим некоторые примеры движений плоскости.
  Параллельный перенос (сдвиг) точек плоскости на постоян-
           #»
ный вектор 𝑏  =(1 2
               𝑏 ,𝑏 : )
                               𝑥
                                ′ = 𝑥 + 𝑏1 ,
                               𝑦 = 𝑦 +𝑏 .
                                ′        2


   Вращение (поворот) плоскости на угол α вокруг неподвижной
точки (центра вращения). В прямоугольной системе координат с на-
чалом в центре вращения формулы этого преобразования имеют вид

                          𝑥
                           ′ = 𝑥 cos α − 𝑦 sin α,
                          𝑦 = 𝑥 sin α + 𝑦 cos α.
                           ′

   Симметрия (отражение) плоскости в прямой –– преобразование,
которое каждой точке 𝑀 плоскости ставит в соответствие точку 𝑀 ′
           # »
                =
такую, что 𝐶 𝑀 ′ −𝐶 𝑀 , где 𝐶 –– ортогональная проекция точки 𝑀
                   # »
на эту прямую, называемую осью симметрии. Если система коор-
динат выбрана так, что ось 𝑂𝑥 совпадает с осью симметрии, а ось
𝑂𝑦 ей перпендикулярна, то это преобразование задается формулами


                                   𝑥
                                    ′ = 𝑥,
                                   𝑦 = −𝑦.
                                    ′

   Пример 3.5. Найти аффинное преобразование, являющееся сим-
метрией плоскости в прямой ℓ 𝑥 − 𝑦 :4    2 +5 = 0
                                          . Система координат
прямоугольная.