Аффинные пространства. Скляренко В.А - 87 стр.

Примеры аффинных преобразований. Движения                                                          87


                              − 11
                (︂                              )︂

   Ответ. 𝑀 ′
                     29        34
                          .
                          ,         ,
                     3
   Сжатие с коэффициентом 𝑘 >
                               3
                                     евклидова трехмерного про-     0
странства E к плоскости 𝒫 –– это преобразование, которое каждую
точку 𝑀 ∈ E отображает в такую его точку 𝑀 ′ , что если 𝐶 –– ортого-
нальная проекция 𝑀 на плоскость 𝒫, то 𝐶 𝑀 ′ 𝑘𝐶 𝑀 . Точки самой
                                        # »      # »
                                                                                     =
этой плоскости, очевидно, остаются неподвижными. При 𝑘 > это                                   1
преобразование называют также растяжением. В системе координат
с осями 𝑂𝑥 и 𝑂𝑦 , расположенными в этой плоскости, и осью 𝑂𝑧 , ей
перпендикулярной, формулы преобразования имеют вид
                                                      𝑥
                                                       ′ = 𝑥,
                                                      𝑦 = 𝑦,
                                                       ′
                                                      𝑧 = 𝑘𝑧.
                                                       ′

  Пример 3.3. Найти аффинное преобразование пространства, яв-
ляющееся сжатием к плоскости 𝒫 𝑥− 𝑦 −𝑧 −    с коэффициентом :           3            3=0
𝑘= 1
     . Система координат прямоугольная.
     4


                                    (¯ ¯ ¯)
   Решение. Пусть 𝑀 𝑥, 𝑦 , 𝑧 –– произвольная фиксированная точка
пространства. Найдем координа-
                     (                )
ты ее образа 𝑀 ′ 𝑥′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ при за-              M
данном аффинном преобразовании
(рис. 5). Для этого определим сна-
чала координаты точки 𝐶 –– орто-                     M                                     0



гональной проекции точки 𝑀 на
плоскость 𝒫. Точка 𝐶 есть точка                     C     n#»
пересечения плоскости с перпенди-
кулярной ей прямой ℓ, проходящей                    P
                                        O
через 𝑀 . Так как                 ⎧            Рис. 5
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪ 𝑥   = ¯+ 𝑥       𝑡,

                                                           = ¯−3
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪

                                            :
                                                     ⎪
                                                     ⎨𝑦         𝑦           𝑡,
                                        ℓ
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪ 𝑧   = ¯− 𝑧       𝑡,

                                                           ∈ (−∞ ∞)
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎪
                                                     ⎩
                                                       𝑡                ,        ,


                                =
то точке 𝐶 отвечает значение параметра 𝑡    𝑡0 , удовлетворяющее

        (¯ + ) 3(¯ 3 ) (¯ ) 3 = 0
уравнению 𝑥 𝑡 − 𝑦 − 𝑡 − 𝑧 − 𝑡 −           . Отсюда находим 𝑡0                                      =
= ( ¯ + 3¯ + ¯ + 3)
   1

   11
     −𝑥 𝑦 𝑧                      (¯ + ¯ 3 ¯
                     , и, следовательно, 𝐶 𝑥 𝑡0 , 𝑦 − 𝑡0 , 𝑧 − 𝑡0 .                                )