Аффинные пространства. Скляренко В.А - 91 стр.

Примеры аффинных преобразований. Движения                                                     91


                               = + −1
                                1       2


                                                                                        (3 7)
                           𝑢        𝑥       𝑦           ,
                                5       5


                               = − +
                                                                                          .
                                2       1               1
                           𝑣        𝑥       𝑦               .
                                5       5               2


   В выбранной системе координат преобразование симметрии запи-
сывается, как указывалось выше,
                                 ′ = 𝑢,
                               𝑢

                                𝑣 = −𝑣,
                                 ′                                                      (3 8)
                                                                                          .



   (     )                                          ( )
где 𝑢′ , 𝑣 ′ –– координаты образа точки 𝑥, 𝑦 в новой системе коор-
                      (3 6) (3 7)
динат. Из равенств . –– . следует, что

             𝑥
                 ′ = ′+2 ′ = −2 =− + −2
                  𝑢    𝑣   𝑢        𝑣
                                                3
                                                    𝑥
                                                                4
                                                                    𝑦       ,
                                                5               5


             𝑦
                 ′=2 ′− ′+ =2 + + =
                   𝑢   𝑣
                           5
                                    𝑢+ +1
                                        𝑣
                                                    5               4
                                                                        𝑥
                                                                            3
                                                                                𝑦   .
                           2                        2               5       5


   Преобразование симметрии меняет ориентацию плоскости, то есть
является примером несобственного движения. Параллельный пере-
нос и вращение сохраняют ориентацию плоскости, то есть являются
собственными аффинными преобразованиями (собственными движе-
ниями).
   Перечисленными примерами исчерпываются все движения евкли-
довой плоскости, более точно, справедлива теорема.

   Теорема 3.3. 1. Всякое собственное движение плоскости
есть или параллельный перенос на некоторый вектор, или по-
ворот на угол α вокруг некоторой неподвижной точки.
   2. Всякое несобственное движение плоскости есть компо-
зиция отражения плоскости в некоторой прямой и сдвига на
вектор, коллинеарный этой прямой (скользящая симметрия).

  В частном случае вектор сдвига скользящей симметрии может
быть равен нулю.

   Пример 3.6. Определить, является ли движение плоскости соб-
ственным или несобственным. В случае собственного движения най-
ти неподвижную точку 𝑂′ и угол поворота α; в случае несобственного
движения найти ось симметрии и вектор сдвига вдоль оси симмет-
рии. Система координат прямоугольная.