Аффинные пространства. Скляренко В.А - 93 стр.

Примеры аффинных преобразований. Движения                                                                     93


𝐵  –– свободное неизвестное. Полагая 𝐵                                =1
                                                 , найдем уравнение оси
              :3 +
симметрии ℓ 𝑥 𝑦 −         2=0.
    Чтобы найти вектор сдвига вдоль оси ℓ, достаточно заметить, что
все точки оси симметрии в результате движения смещаются на один
и тот же вектор #»𝑎 . То есть 𝑎
                               #» 𝑀  # »′
                                           =
                                        𝑀 , где 𝑀 –– любая точка на ℓ, а
  ′
𝑀 –– ее образ. Взяв, например, 𝑀  (0 2)
                                      ,   ∈ ℓ, по формулам    .   найдем                         (3 9)
координаты точки 𝑀 : 𝑥 ′  ′   =2 = 4
                                ,𝑦
                                   ′  − . Тогда 𝑎 𝑀 𝑀
                                                 #»   # »′
                                                                ,−  .              =            = (2 6)
    )
    𝑏 Так как определитель матрицы преобразования положителен,

то движение собственное и согласно теореме представляет собой по-
ворот вокруг некоторой точки (очевидно, что преобразование не яв-
ляется параллельным переносом, так как в этом случае матрица пре-
образования была бы единичная). Неподвижную точку 𝑂′ 𝑥, 𝑦 , то                                     ( )
                     =            =
есть такую, что 𝑥′ 𝑥, 𝑦 ′ 𝑦 , найдем как решение системы уравне-
ний

                        =− − −
                          ⎧
                                        21              20             30
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎨𝑥                   𝑥             𝑦                 ,
                                        29              29             29


                        = − +
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎩
                              𝑦
                                      20

                                      29
                                           𝑥
                                                    21

                                                    29
                                                         𝑦
                                                                      70

                                                                      29
                                                                           .



    Получим   𝑥   = −1 = 1. Перенесем начало координат в точку
                         ,𝑦

𝑂 (−1, 1):
 ′

                                      𝑥    = −1 𝑢            ,
                                                                                                      (3 11)
                                      𝑦    = +1 𝑣            .
                                                                                                          .




   Такая замена координат не меняет матрицы аффинного преобра-
         (3 10)
зования . , но изменяет столбец свободных членов, обращая его
в нулевой, так как начало новой системы координат –– неподвижная
точка этого преобразования. В системе координат 𝑂′ 𝑢𝑣 данное пре-
образование запишется в виде

                                  ′ = − 21 𝑢 − 20 𝑣,
                                                                                                      (3 12)
                                  𝑢
                                               29            29


                                  𝑣 =
                                                                                                          .
                                   ′       20

                                           29
                                                𝑢   −    21

                                                         29
                                                                 𝑣.



   Впрочем, те же формулы можно получить из . , заменяя ста-                           (3 10)
                   ( )
рые координаты 𝑥, 𝑦 их выражениями .      через новые коорди-         (3 11)
        ( )
наты 𝑢, 𝑣 :