Аффинные пространства. Скляренко В.А - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Примеры аффинных преобразований. Движения 95
θ –– параллельный перенос на вектор
#»
,
–– поворот вокруг начала координат на угол ϕ,
ψ –– гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом .
Система координат прямоугольная.
Решение. Пусть и –– две произвольные точ-
ки плоскости. Расстояние между их образами и при отобра-
жении найдем как длину вектора
# »
Тогда
Отсюда заключаем, что данное преобразование есть подобие с ко-
эффициентом . Кроме того,
то есть преобразование несобственное.
Пусть –– произвольная точка плоскости. Найдем ее образ
при композиции указанных преобразований:
η θ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ψ
Тогда
ψ θ η
ϕ ϕ
ϕ ϕ
или, что то же самое,
Примеры аффинных преобразований. Движения                                                                                                      95


θ –– параллельный перенос на вектор #»
                                    𝑣                                           = ( ),   𝑎, 𝑏

Φ –– поворот вокруг начала координат на угол ϕ,
ψ –– гомотетия с центром в начале координат и коэффициентом 𝑘.
Система координат прямоугольная.

                                            (              )
   Решение. Пусть 𝑀1 𝑥1 , 𝑦1 и 𝑀2 𝑥2 , 𝑦2 –– две произвольные точ-      (            )
ки плоскости. Расстояние между их образами 𝑀1′ и 𝑀2′ при отобра-
жении 𝐹 найдем как длину вектора

                  −12 5                           −                = −5(12(2 −2 −1) 1+) +12(5( 22−− 1)1)
                     ⎛                 ⎞⎛                      ⎞        ⎛                                                           ⎞


              2 =
      # ′ »′                                    𝑥2        𝑥1                         𝑥           𝑥                 𝑦          𝑦
      𝑀 𝑀 1
                   5 12
                     ⎝                 ⎠⎝
                                                𝑦2−       𝑦1
                                                               ⎠        ⎝
                                                                                𝑥            𝑥                     𝑦          𝑦
                                                                                                                                    ⎠.




     Тогда

          ′ |2 = (︁−12(𝑥
 |                     2 − 1 ) + 5( 2 − 1 ) + 5( 2 − 1 ) +
      ′
  𝑀1 𝑀2                                 𝑥
                                           2
                                                          𝑦         𝑦
                                                                        )︁          (︁
                                                                                             𝑥           𝑥


              + 12( 2 − 1) 2 = 169 ( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2 = 169|                                                                           |2
                                       )︁                 (︁                                                  )︁
                       𝑦           𝑦                           𝑥        𝑥                𝑦       𝑦                                𝑀1 𝑀2        .



  Отсюда заключаем, что данное преобразование есть подобие с ко-
эффициентом 𝑘              = 13
                 . Кроме того,

                                                Δ = −512 125
                                                          ⃒                 ⃒


                                                                                    0
                                                          ⃒                 ⃒
                                                          ⃒                 ⃒
                                                          ⃒                 ⃒
                                                          ⃒                 ⃒ <      ,
                                                          ⃒                 ⃒



то есть преобразование несобственное.
                    ( )
   Пусть 𝑀 𝑥, 𝑦 –– произвольная точка плоскости. Найдем ее образ
при композиции указанных преобразований:

                               :   =   𝑥1
                                              θ:
                                                     𝑥,                         𝑥2  = 1+     𝑥           𝑎,

                                 1 =−                                             2 = 1+
                           η
                                        𝑦             𝑦,                        𝑦            𝑦           𝑏,

                            3 = 2 cos ϕ − 2 sin ϕ
                                                                                         ′ = 13
                  Φ:       𝑥           𝑥                       𝑦            ,
                                                                                    ψ:
                                                                                                     𝑥                 𝑥3 ,

                            3 = 2 sin ϕ + 2 cos ϕ
                           𝑦           𝑥                       𝑦            ,
                                                                                         ′ = 13      𝑦                 𝑦3 .


Тогда
                                             ′ = 13(𝑥 + 𝑎) cos ϕ − 13(−𝑦 + 𝑏) sin ϕ,
              ψ   ∘ Φ ∘ θ ∘ η:              𝑥

                                            𝑦 = 13(𝑥 + 𝑎) sin ϕ + 13(−𝑦 + 𝑏) cos ϕ
                                             ′

или, что то же самое,

Страницы