Аффинные пространства. Скляренко В.А - 96 стр.

96                                                                              Аффинные преобразования

                   ′ = 13𝑥 cos ϕ + 13𝑦 sin ϕ + (13𝑎 cos ϕ − 13𝑏 sin ϕ),
          𝐹   :   𝑥

                  𝑦 = 13𝑥 sin ϕ − 13𝑦 cos ϕ + (13𝑎 sin ϕ + 13𝑏 cos ϕ).
                   ′

   Сравнивая формулы преобразования                                     𝐹   с данными в условии за-
дачи, получаем:

      13 cos ϕ = −12 13 sin ϕ = 5
                           ,                   ,       то есть              ϕ   = π − arctg               5

                                                                                                          12
                                                                                                               (3 14)
                                                                                                                 .



и, кроме того,
                                   ⎧
                                   ⎨   13 cos ϕ − 13 sin ϕ = −1
                                         𝑎                 𝑏                        ,
                                                                                                               (3 15)
                                   ⎩
                                       13 sin ϕ + 13 cos ϕ = 1
                                         𝑎              𝑏                       .
                                                                                                                 .




   Равенства .        (3 15)
                   представляют собой систему линейных уравне-
ний относительно координат вектора параллельного переноса. С уче-
том . (3 14)
          ее можно записать в матричном виде

                                        −12 −5                     = −11
                                    ⎛            ⎞⎛            ⎞    ⎛       ⎞
                                                        𝑎
                                    ⎝
                                         5 −12   ⎠⎝
                                                        𝑏
                                                               ⎠    ⎝       ⎠.




     Отсюда найдем
                                                                            ⎛                 ⎞
                                                       −1 ⎛
                                   = −512 −−125                    −1 =
                       ⎛       ⎞     ⎛             ⎞                ⎞                   17
                                                                            ⎜                 ⎟
                           𝑎

                                                                    1
                                                                            ⎜       169       ⎟
                       ⎝       ⎠     ⎝             ⎠           ⎝    ⎠       ⎜                 ⎟.
                           𝑏                                                ⎝
                                                                                    −    7

                                                                                        169
                                                                                              ⎠




     Ответ:       𝐹   = ψ ∘ Φ ∘ θ ∘ η, где
                                      ′ = 𝑥,                            ′ =𝑥+            17


                               :                           :
                                     𝑥                              𝑥                         ,

                                     𝑦 = −𝑦,
                                                                                        169
                        η             ′                θ
                                                                        ′=𝑦−             7
                                                                    𝑦                         ,

           ′ = 𝑥 cos ϕ − 𝑦 sin ϕ,                                                                          ′ = 13𝑥,
                                                                                        169


     Φ:   𝑥

          𝑦 = 𝑥 sin ϕ + 𝑦 cos ϕ,
           ′                                    ϕ   = π − arctg              12
                                                                                5
                                                                                    ,             ψ   :   𝑥

                                                                                                          𝑦 = 13𝑦.
                                                                                                           ′