Аффинные пространства. Скляренко В.А - 94 стр.

94                                                                       Аффинные преобразования


                        𝑢
                            ′ − 1 = − 21 (𝑢 − 1) − 20 (𝑣 + 1) − 30 ,
                                           29                29                29


                        𝑣
                            ′+1=          20
                                               ( − 1) − ( + 1) +
                                               𝑢
                                                            21
                                                                 𝑣
                                                                           70
                                                                                   .
                                          29                29             29


   Поскольку система координат 𝑂′ 𝑢𝑣 прямоугольная, поворот плос-
кости на угол α вокруг начала координат определяется формулами
                                       ′ = 𝑢 cos α − 𝑣 sin α,
                                      𝑢

                                      𝑣 = 𝑢 sin α + 𝑣 cos α.
                                       ′                                                        (3 13)
                                                                                                  .




     Из(3 12) –– (3 13) заключаем, что cos α = − sin α = , то есть
           .            .
                                                                          21

                                                                          29
                                                                               ,
                                                                                           20

                                                                                           21

α = π − arctg .
               20

               21



   Ответ.      ) : 3 + − 2 = 0 #» = (2 −6); ) ′(−1 1) α = π −
               𝑎    ℓ        𝑥        𝑦             ,   𝑎            ,     𝑏       𝑂   ,    ,

− arctg . 20

          21


   Аффинное преобразование евклидова аффинного пространства
называется преобразованием подобия, если существует действи-
                              0
тельное число 𝑘 > такое, что для любых двух точек 𝑀1 , 𝑀2 и их
образов 𝑀1′ , 𝑀2′ выполняется равенство |𝑀1′ 𝑀2′ | 𝑘 |𝑀1 𝑀2 |. Число 𝑘     =
называется коэффициентом подобия. Гомотетия с коэффициентом
𝑘 является также и преобразованием подобия с тем же коэффициен-

том.

   Теорема 3.4. Всякое преобразование подобия с коэффициен-
том 𝑘 есть композиция движения, собственного или несоб-
ственного, и гомотетии с тем же коэффициентом и произ-
вольным центром.

     Пример 3.7. Доказать, что отображение
                                                ′ = −12𝑥 + 5𝑦 − 1,
                                  𝐹   :        𝑥

                                               𝑦 = 5𝑥 + 12𝑦 + 1
                                                ′

является преобразованием подобия. Разложить его в композицию
𝐹    =    Φ
      ψ ∘ ∘ θ ∘ η, где
η –– тождественное, если преобразование собственное, и симметрия
относительно оси 𝑂𝑥, если преобразование несобственное,