Аффинные пространства. Скляренко В.А - 92 стр.

92                                                                                             Аффинные преобразования

                                                           ′ = − 4 𝑥 − 3 𝑦 + 16 ,
                                        )                                                                                             (3 9)
                                                      𝑥
                                                                    5            5             5


                                                      𝑦 = −                 + − ;
                                 𝑎                                                                                                        .
                                                       ′            3
                                                                        𝑥
                                                                                 4
                                                                                     𝑦
                                                                                               28

                                                                    5            5             5

                                                       ′=−         21
                                                                         − −     20            30


                                    )                                                                                              (3 10)
                                                  𝑥                     𝑥             𝑦                ,
                                                                   29            29            29


                                                     𝑦 =                − +
                                𝑏                                                                                                     .
                                                      ′        20
                                                                    𝑥
                                                                            21
                                                                                 𝑦
                                                                                              70
                                                                                                   .
                                                               29           29                29


                        )
   Решение. 𝑎 Так как определитель матрицы преобразования от-
рицателен, то движение несобственное и согласно теореме является
скользящей симметрией. Ось симметрии ℓ –– инвариантная прямая
этого преобразования. Пусть ее уравнение имеет вид 𝐴𝑥 𝐵𝑦 𝐶                                                                   +    + =
=0  , где 𝐴2 𝐵 2 ̸+            =0
                      . Рассуждая, как и при решении задачи 3.1,
заключаем, что уравнение

                                         +                 +            − +                                      + =0
                  (︂                                  )︂           (︂                                       )︂

              𝐴        − −
                       4

                       5
                           𝑥
                                 3

                                 5
                                     𝑦
                                                 16

                                                 5
                                                               𝐵
                                                                        3

                                                                        5
                                                                            𝑥
                                                                                      4

                                                                                      5
                                                                                          𝑦   −        28

                                                                                                       5
                                                                                                                     𝐶


или, что то же самое,

             (−4 − 3 ) + (−3 + 4 ) + 16 − 28 + 5 = 0
                  𝐴            𝐵 𝑥                    𝐴            𝐵 𝑦                   𝐴                 𝐵         𝐶


также определяет прямую ℓ. Тогда
                       − −
                       4𝐴       3𝐵
                                         =−       3𝐴 + 4𝐵
                                                                    =       16𝐴   −      28𝐵 + 5𝐶
                                                                                                                 =λ      .
                            𝐴                              𝐵                              𝐶


   Последние равенства представляют собой систему уравнений от-
носительно неизвестных 𝐴, 𝐵, 𝐶, λ:
                                ⎧
                                ⎪
                                ⎪        (−4 − λ) − 3 = 0               𝐴             𝐵                ,

                                         −3 + (4 − λ) = 0
                                ⎪
                                ⎨
                                                               𝐴                      𝐵                ,

                                     16 − 28 + (5 − λ) = 0
                                ⎪
                                ⎪
                                ⎪
                                ⎩
                                            𝐴                  𝐵                      𝐶                .


        Первые два уравнения системы имеют решение                                                               𝐴, 𝐵,       λ такое, что
𝐴
    2
        +𝐵 ̸
           2
            =0 , лишь при условии
                                             −4 − λ −3 = 0
                                             ⃒                               ⃒
                                             ⃒                               ⃒
                                             ⃒                               ⃒

                                              −3 4 − λ
                                             ⃒                               ⃒
                                             ⃒                               ⃒            ,
                                             ⃒                               ⃒



то есть, если λ ± .    = 5
   При λ      =5
              , решая систему, получим, что 𝐴                                                          = = 0, –– любое
                                                                                                                 𝐵            𝐶

действительное число. При λ      − найдем 𝐴                    = 5                                     = 3 , = −2 , где
                                                                                                                 𝐵       𝐶        𝐵