Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 4 стр.

UptoLike

1. Предел и непрерывность
Функцию нескольких переменных f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)
1
считают функ-
цией одной переменной f(x), x = (x
1
, . . . , x
n
), являющейся элементом про-
ст ранства R
n
. Пр остранс тво R
n
евклидово, его элементы, в зависимости от
контекста, можно считать точками или векторами. В R
n
определены линей-
ные операции, если x = (x
1
, . . . , x
n
), y = (y
1
, . . . , y
n
)> R
n
, α, β > R, то
αx + βy = (αx
1
+ βy
1
, . . . , αx
n
+ βy
n
).
Скалярное произведение в R
n
определяется как (x, y)= x
1
y
1
+ . . . + x
n
y
n
,
что позволяет задавать расстояния
ρ(x, y)= Sx yS=
»
(x
1
y
1
)
2
+ . . . + (x
n
y
n
)
2
и углы cos(
Ä
x, y)=
( x, y)
SxSSyS
.
Отметим, что свойства нормы SxS=
»
(x, x)в R
n
аналогичны свойствам
модуля в R.
Окрестностью ради уса δ A 0 точки x
0
> R
n
называют множество
U
δ
(x
0
)= x > R
n
Sx x
0
S< δ
открытый шар радиуса δ с центром в x
0
.
Последовательность x
p
ª
p=1
точек называется сходящейся в простран-
стве R
n
к x
0
, если lim
pª
Sx
p
x
0
S= 0, что равносильно покоординатной схо-
димости: lim
pª
x
p
k
= x
0
k
при всех k = 1, . . . , n.
Приведем необходимые понятия, касающиеся множеств в простран-
стве R
n
.
Множество E R
n
называют ограниченным, если конечен его диаметр,
число diam E = sup
x
,x

>E
Sx

x
S.
Точка x
0
называется предельной точкой множества E R
n
, е сли в лю-
бой ее окрестности есть точки из E, отличные от x
0
. Точка x
0
предель-
ная для E, если найдется последовательность точек x
p
из E, отличных
от x
0
и сходящихся к x
0
. Точка x
0
называется изолированной точкой для E,
если в некоторой ее окрестности нет точек из E, отличных от x
0
. Каждая
точка множества E R
n
является либ о его изолированной точкой, либо
предельной.
1
При небольших значениях n используют обычно запись f( x, y), f(x, y, z), и так далее.
4