Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

1. Предел и непрерывность
Функцию нескольких переменных f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)
1
считают функ-
цией одной переменной f(x), x = (x
1
, . . . , x
n
), являющейся элементом про-
ст ранства R
n
. Пр остранс тво R
n
евклидово, его элементы, в зависимости от
контекста, можно считать точками или векторами. В R
n
определены линей-
ные операции, если x = (x
1
, . . . , x
n
), y = (y
1
, . . . , y
n
)> R
n
, α, β > R, то
αx + βy = (αx
1
+ βy
1
, . . . , αx
n
+ βy
n
).
Скалярное произведение в R
n
определяется как (x, y)= x
1
y
1
+ . . . + x
n
y
n
,
что позволяет задавать расстояния
ρ(x, y)= Sx − yS=
»
(x
1
− y
1
)
2
+ . . . + (x
n
− y
n
)
2
и углы cos(
Ä
x, y)=
( x, y)
SxSSyS
.
Отметим, что свойства нормы SxS=
»
(x, x)в R
n
аналогичны свойствам
модуля в R.
Окрестностью ради уса δ A 0 точки x
0
> R
n
называют множество
U
δ
(x
0
)= x > R
n
Sx − x
0
S< δ
— открытый шар радиуса δ с центром в x
0
.
Последовательность x
p
ª
p=1
точек называется сходящейся в простран-
стве R
n
к x
0
, если lim
pª
Sx
p
− x
0
S= 0, что равносильно покоординатной схо-
димости: lim
pª
x
p
k
= x
0
k
при всех k = 1, . . . , n.
Приведем необходимые понятия, касающиеся множеств в простран-
стве R
n
.
Множество E ⊂ R
n
называют ограниченным, если конечен его диаметр,
число diam E = sup
x
,x

>E
Sx

− x
S.
Точка x
0
называется предельной точкой множества E ⊂ R
n
, е сли в лю-
бой ее окрестности есть точки из E, отличные от x
0
. Точка x
0
— предель-
ная для E, если найдется последовательность точек x
p
из E, отличных
от x
0
и сходящихся к x
0
. Точка x
0
называется изолированной точкой для E,
если в некоторой ее окрестности нет точек из E, отличных от x
0
. Каждая
точка множества E ⊂ R
n
является либ о его изолированной точкой, либо
предельной.
1
При небольших значениях n используют обычно запись f( x, y), f(x, y, z), и так далее.
4
1. Предел и непрерывность
   Функцию нескольких переменных f(x) = f(x1 , . . . , xn)1 считают функ-
цией одной переменной f(x), x = (x1 , . . . , xn), являющейся элементом про-
странства Rn. Пространство Rn евклидово, его элементы, в зависимости от
контекста, можно считать точками или векторами. В Rn определены линей-
ные операции, если x = (x1 , . . . , xn), y = (y1 , . . . , yn) > Rn , α, β > R, то

                             αx + βy = (αx1 + βy1 , . . . , αxn + βyn).

   Скалярное произведение в Rn определяется как (x, y) = x1 y1 + . . . + xn yn,
что позволяет задавать расстояния
                            »                                                              (x, y)
ρ(x, y) = Sx − yS =             (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn)2   и углы   cos(Ä
                                                                                x , y) =          .
                                                                                           SxSSyS
                                    »
   Отметим, что свойства нормы SxS = (x, x) в Rn аналогичны свойствам
модуля в R.
   Окрестностью радиуса δ A 0 точки x0 > Rn называют множество

                                   Uδ(x0 ) = ˜x > Rn  Sx − x0 S < δ

— открытый шар радиуса δ с центром в x0 .
   Последовательность ˜x pªp=1 точек называется сходящейся в простран-
стве R к x , если lim Sx − x S = 0, что равносильно покоординатной схо-
      n   0             p   0
                            p ª
                    p
димости:       lim xk   =   xk0 при   всех k = 1, . . . , n.
               p ª
   Приведем необходимые понятия, касающиеся множеств в простран-
стве Rn.
   Множество E ⊂ Rn называют ограниченным, если конечен его диаметр,
число diam E = sup Sxœœ − xœ S.
                      xœ ,xœœ >E
    Точка называется предельной точкой множества E ⊂ Rn, если в лю-
               x0
бой ее окрестности есть точки из E, отличные от x0 . Точка x0 — предель-
ная для E, если найдется последовательность точек ˜x p из E, отличных
от x0 и сходящихся к x0 . Точка x0 называется изолированной точкой для E,
если в некоторой ее окрестности нет точек из E, отличных от x0 . Каждая
точка множества E ⊂ Rn является либо его изолированной точкой, либо
предельной.
   1
       При небольших значениях n используют обычно запись f(x, y), f(x, y, z), и так далее.

                                                     4

Страницы