Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

∀ε A 0 §δ A 0 ∀x > E Sx − x
0
S< δ Sf(x)− f(x
0
)S< ε.
В изолированной точке своей области определения функция непре-
рывна всегда, а в предельной ее непрерывность равносильна выполнению
равенства lim
xx
0
f(x)= f(x
0
).
Отметим некоторые локальные свойства непрерывных функций.
Непрерывная в точке x
0
функция ограничена в некоторой окрестности
x
0
. Если функции f(x), g(x)определены в окрестности и непрерывны в
точке x
0
, то их сумма f(x)+ g(x), произведение f(x)g(x)и отношение
f(x)
g(x)
(при g(x
0
)x 0)непрерывны в точке x
0
.
Если фу нкция f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)непрерывна в точке x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
),
а функции φ
k
(t)= φ
k
(t
1
, . . . , t
s
)при всех k = 1, . . . , n непрерывны в точке
t
0
= (t
0
1
, . . . , t
0
s
), причем φ
k
(t
0
) = x
0
k
, k = 1, . . . , n, то композиция F(t) =
= f(φ
1
(t), . . . , φ
n
(t))непрерывна в t
0
.
Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если
она непрерывна в каждой точке этого множества.
Отметим некоторые свойства функций, непрерывных на множестве.
Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные
значения: если f(x)непрерывна в области D ⊂ R
n
, то для любых двух точек
x
1
, x
2
> D и любого числа A, лежащего между f(x
1
)и f( x
2
), найдется точка
x
0
> D такая, ч то f(x
0
)= A.
Непрерывная на компактном множестве K функция f(x)
• ограничена на K:
§M ∀x > K Sf(x)SD M;
• принимает на K свои наибольшее и наименьшее значения:
§x
1
, x
2
> K ∀x > K f(x
1
)D f(x)D f(x
2
);
• равномерно непрерывна на K:
∀ε A 0 §δ A 0 ∀x
, x

> E Sx

− x
S< δ Sf(x

)− f(x
)S< ε.
Пример 1. Можно ли доопределить в точке M
0
(0, 0)функцию двух
переменных (a) f(x, y)= sin
x
2
− y
2
»
SxyS
; (b) g(x, y) =
ytg xy
»
x
4
+ y
4
так, чтобы она
стала в этой точке непрерывной.
Решение. (a) Условием того, что функция f(x, y)непрерывна в точ-
ке (x
0
, y
0
)— предельной точке области определения, является выполнение
равенства
6
            ∀ε A 0 §δ A 0 ∀x > E       Sx − x0 S < δ  S f(x) − f(x0 )S < ε.
   В изолированной точке своей области определения функция непре-
рывна всегда, а в предельной ее непрерывность равносильна выполнению
равенства lim0 f(x) = f(x0 ).
            x x
     Отметим некоторые локальные свойства непрерывных функций.
     Непрерывная в точке x0 функция ограничена в некоторой окрестности
x0 . Если функции f(x), g(x) определены в окрестности и непрерывны в
точке x0 , то их сумма f(x) + g(x), произведение f(x)g(x) и отношение
     (при g(x0 ) x 0) непрерывны в точке x0 .
f(x)
g(x)
     Если функция f(x) = f(x1 , . . . , xn) непрерывна в точке x0 = (x10 , . . . , xn0 ),
а функции φk (t) = φk (t1 , . . . , ts) при всех k = 1, . . . , n непрерывны в точке
t0 = (t10 , . . . , ts0 ), причем φk (t0 ) = xk0 , k = 1, . . . , n, то композиция F(t) =
= f(φ1 (t), . . . , φn(t)) непрерывна в t0 .
     Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если
она непрерывна в каждой точке этого множества.
     Отметим некоторые свойства функций, непрерывных на множестве.
     Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные
значения: если f(x) непрерывна в области D ⊂ Rn, то для любых двух точек
x1 , x2 > D и любого числа A, лежащего между f(x1 ) и f(x2 ), найдется точка
x0 > D такая, что f(x0 ) = A.
     Непрерывная на компактном множестве K функция f(x)
     • ограничена на K:
                              §M ∀x > K           S f(x)S D M;
    • принимает на K свои наибольшее и наименьшее значения:
                    §x1 , x2 > K ∀x > K        f(x1 ) D f(x) D f(x2 );
    • равномерно непрерывна на K:
         ∀ε A 0 §δ A 0 ∀xœ , xœœ > E    Sxœœ − xœ S < δ  S f(xœœ ) − f(xœ )S < ε.
    Пример 1.      Можно ли доопределить в точке M0 (0, 0) функцию двух
                                    x2 − y2                      ytg xy
переменных (a) f(x, y) = sin »                ; (b) g(x, y) = »             так, чтобы она
                                       SxyS                       x4 + y4
стала в этой точке непрерывной.
    Решение. (a) Условием того, что функция f(x, y) непрерывна в точ-
ке (x0 , y0 ) — предельной точке области определения, является выполнение
равенства

                                              6

Страницы