Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 6 стр.

UptoLike

ε A 0 §δ A 0 x > E Sx x
0
S< δ Sf(x) f(x
0
)S< ε.
В изолированной точке своей области определения функция непре-
рывна всегда, а в предельной ее непрерывность равносильна выполнению
равенства lim
xx
0
f(x)= f(x
0
).
Отметим некоторые локальные свойства непрерывных функций.
Непрерывная в точке x
0
функция ограничена в некоторой окрестности
x
0
. Если функции f(x), g(x)определены в окрестности и непрерывны в
точке x
0
, то их сумма f(x)+ g(x), произведение f(x)g(x)и отношение
f(x)
g(x)
(при g(x
0
)x 0)непрерывны в точке x
0
.
Если фу нкция f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)непрерывна в точке x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
),
а функции φ
k
(t)= φ
k
(t
1
, . . . , t
s
)при всех k = 1, . . . , n непрерывны в точке
t
0
= (t
0
1
, . . . , t
0
s
), причем φ
k
(t
0
) = x
0
k
, k = 1, . . . , n, то композиция F(t) =
= f(φ
1
(t), . . . , φ
n
(t))непрерывна в t
0
.
Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если
она непрерывна в каждой точке этого множества.
Отметим некоторые свойства функций, непрерывных на множестве.
Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные
значения: если f(x)непрерывна в области D R
n
, то для любых двух точек
x
1
, x
2
> D и любого числа A, лежащего между f(x
1
)и f( x
2
), найдется точка
x
0
> D такая, ч то f(x
0
)= A.
Непрерывная на компактном множестве K функция f(x)
ограничена на K:
§M x > K Sf(x)SD M;
принимает на K свои наибольшее и наименьшее значения:
§x
1
, x
2
> K x > K f(x
1
)D f(x)D f(x
2
);
равномерно непрерывна на K:
ε A 0 §δ A 0 x
, x

> E Sx

x
S< δ Sf(x

) f(x
)S< ε.
Пример 1. Можно ли доопределить в точке M
0
(0, 0)функцию двух
переменных (a) f(x, y)= sin
x
2
y
2
»
SxyS
; (b) g(x, y) =
ytg xy
»
x
4
+ y
4
так, чтобы она
стала в этой точке непрерывной.
Решение. (a) Условием того, что функция f(x, y)непрерывна в точ-
ке (x
0
, y
0
) предельной точке области определения, является выполнение
равенства
6