Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 7 стр.

UptoLike

lim
(x,y)(x
0
,y
0
)
f(x, y)= f(x
0
, y
0
).
Но
lim
nª
f(
1
n
3
,
1
n
)= lim
nª
sin(
1
n
4
1)= sin 1 x
x lim
nª
f(
1
n
,
1
n
3
)= lim
nª
sin(1
1
n
4
)= sin 1,
откуда следует, что lim
(x,y)(0,0)
f(x, y)не существует. Доопределить функцию
так, чтобы она стала непрерывной, нельзя.
(b) Представим функцию в ви де произведения
g(x, y)= y ċ
tg xy
xy
ċ
xy
»
x
4
+ y
4
,
где первый множитель бесконечно м алый при ( x, y) (0, 0), второй
ограничен в окрестности точки (0, 0), так как lim
z0
tg z
z
= 1, а третий не пре-
восходит по модулю
1
º
2
, так как 2x
2
y
2
D x
4
+ y
4
. Таким образом, функция
g(x, y)является бесконечно м алой при (x, y) (0, 0)и с танет непрерыв-
ной, если доопределить ее в точке M
0
нулем.
Ответ. (a) Нельзя. (b) Можно, положив g(0, 0)= 0.
2. Дифференцируемость
Определение. Фу нкция f(x), определенная в окрестности точки x
0
,
называется дифференцируемой в x
0
, если ее приращение в этой точке мож-
но представить в виде
f(x
0
)= f(x) f(x
0
)=
n
Q
k=1
A
k
(x
k
x
0
k
)+ α(x)Sx x
0
S, где lim
xx
0
α(x)= 0,
при этом дифференциалом функции f(x)в точке x
0
называют выражение
d f(x
0
, x x
0
)=
n
P
k=1
A
k
(x
k
x
0
k
).
Из дифференцируемости в точке x
0
функции f(x )вытекает суще ство-
вание в x
0
частных производных по каждой из n переменных, k = 1, . . . , n:
7
                                     lim         f(x, y) = f(x0 , y0 ).
                               (x,y) (x0 ,y0 )

Но

     lim f( n13 , n1 ) = lim sin( n14 − 1) = − sin 1 x
     n ª                 n ª
                                                 x lim f( n1 , n13 ) = lim sin(1 − n14 ) = sin 1,
                                                   n ª               n ª

откуда следует, что            lim         f(x, y) не существует. Доопределить функцию
                         (x,y) (0,0)
так, чтобы она стала непрерывной, нельзя.
   (b) Представим функцию в виде произведения
                                                     tg xy     xy
                                 g(x, y) = y ċ             ċ » 4 4,
                                                      xy      x +y

где первый множитель — бесконечно малый при (x, y)             (0, 0), второй
ограничен в окрестности точки (0, 0), так как lim
                                                  tg z
                                                       = 1, а третий не пре-
                                              z 0 z
                    1
восходит по модулю º , так как 2x2 y2 D x4 + y4 . Таким образом, функция
                      2
g(x, y) является бесконечно малой при (x, y) (0, 0) и станет непрерыв-
ной, если доопределить ее в точке M0 нулем.
   Ответ. (a) Нельзя. (b) Можно, положив g(0, 0) = 0.

2. Дифференцируемость
   Определение. Функция f(x), определенная в окрестности точки x0 ,
называется дифференцируемой в x0 , если ее приращение в этой точке мож-
но представить в виде
                                     n
 ∆ f(x ) = f(x) − f(x ) = Q Ak (xk − xk0 ) + α(x)Sx − x0 S,
       0                   0
                                                                               где lim0 α(x) = 0,
                                     k=1                                            x x


при этом дифференциалом функции f(x) в точке x0 называют выражение
                    n
d f(x0 , x − x0 ) = P Ak (xk − xk0 ).
                   k=1
   Из дифференцируемости в точке x0 функции f(x) вытекает существо-
вание в x0 частных производных по каждой из n переменных, k = 1, . . . , n:



                                                     7