Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 7 стр.

UptoLike

lim
(x,y)(x
0
,y
0
)
f(x, y)= f(x
0
, y
0
).
Но
lim
nª
f(
1
n
3
,
1
n
)= lim
nª
sin(
1
n
4
1)= sin 1 x
x lim
nª
f(
1
n
,
1
n
3
)= lim
nª
sin(1
1
n
4
)= sin 1,
откуда следует, что lim
(x,y)(0,0)
f(x, y)не существует. Доопределить функцию
так, чтобы она стала непрерывной, нельзя.
(b) Представим функцию в ви де произведения
g(x, y)= y ċ
tg xy
xy
ċ
xy
»
x
4
+ y
4
,
где первый множитель бесконечно м алый при ( x, y) (0, 0), второй
ограничен в окрестности точки (0, 0), так как lim
z0
tg z
z
= 1, а третий не пре-
восходит по модулю
1
º
2
, так как 2x
2
y
2
D x
4
+ y
4
. Таким образом, функция
g(x, y)является бесконечно м алой при (x, y) (0, 0)и с танет непрерыв-
ной, если доопределить ее в точке M
0
нулем.
Ответ. (a) Нельзя. (b) Можно, положив g(0, 0)= 0.
2. Дифференцируемость
Определение. Фу нкция f(x), определенная в окрестности точки x
0
,
называется дифференцируемой в x
0
, если ее приращение в этой точке мож-
но представить в виде
f(x
0
)= f(x) f(x
0
)=
n
Q
k=1
A
k
(x
k
x
0
k
)+ α(x)Sx x
0
S, где lim
xx
0
α(x)= 0,
при этом дифференциалом функции f(x)в точке x
0
называют выражение
d f(x
0
, x x
0
)=
n
P
k=1
A
k
(x
k
x
0
k
).
Из дифференцируемости в точке x
0
функции f(x )вытекает суще ство-
вание в x
0
частных производных по каждой из n переменных, k = 1, . . . , n:
7