Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

∂f(x
0
)
∂x
k
= lim
xx
0
∆
k
f
∆x
k
= lim
xx
0
f(x
0
1
, . . . , x
k
, . . . , x
0
n
)− f(x
0
1
, . . . , x
0
k
, . . . , x
0
n
)
x
k
− x
0
k
.
Альтернативное о бозначение f
x
k
(x
0
).
Обратное неверно, однако если все n частные производные функции
f(x)существуют в окрестности точки x
0
и непрерывны в самой этой точ-
ке, то f(x)дифференцируема в x
0
и коэффициенты A
k
=
∂f(x
0
)
∂x
k
. Таким
о бразом, d f =
n
P
k=1
∂f(x
0
)
∂x
k
(x
k
− x
0
k
)или d f =
n
P
k=1
∂f(x
0
)
∂x
k
dx
k
.
2
Поскольку частная производная
∂f(x
0
)
∂x
k
есть обычная производная от
функции f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
), рассматриваемой как функция только одной
переменной x
k
при фиксированных остальных переменных, то для част-
ных производных справедливы все свойства обыкновенных производных.
Пример 2. Найти частные производные перв ого порядка ф ункции
(a) f(x, y)=
x + y
Sx − 2Sy + 4
в точке M
0
(2,0); (b) g(x, y)= cos
5
»
y(x + 1)в точке
M
0
(−1,0)и исследовать функцию на дифференцируемос ть в этой точке.
Решение. (a) Найдем значения функции в точке M
0
и на координат-
ных линиях, проходящих чер ез нее:
f(2, 0)=
1
2
, f(x,0)=
x
4
, f(2, y)=
2 + y
4
;
откуда f
x
(2,0)=
1
4
, f
y
(2,0)=
1
4
.
Если f(x, y)дифференцируема в точке M
0
, то ее приращение в этой
точке представимо в виде
∆f(2, 0)=
x + y
Sx − 2Sy + 4
−
1
2
=
1
4
(x − 2)+
1
4
y + o(ρ) при ρ 0,
где ρ =
»
(x − 2)
2
+ y
2
0 при (x, y) (2,0).
Преобразуя по следнее ра венство, получим
−
y(x + y)Sx − 2S
4(ySx − 2S+ 4)
= o(ρ),
что справедливо. Действительно
2
Принято отождествлять приращения и дифференциалы не зависимых переменных: x
k
− x
0
k
=
= dx
k
.
8
         ∂ f(x0 )       ∆ f       f(x10 , . . . , xk , . . . , xn0 ) − f(x10 , . . . , xk0 , . . . , xn0 )
                  = lim0 k = lim0                                                                          .
           ∂xk      x x ∆xk  x x                                xk − xk0

Альтернативное обозначение fxœk (x0 ).
   Обратное неверно, однако если все n частные производные функции
f(x) существуют в окрестности точки x0 и непрерывны в самой этой точ-
                                                                                                  ∂ f(x0 )
ке, то f(x) дифференцируема в x0 и коэффициенты Ak =                                                       . Таким
                                                                                                    ∂xk
                     n ∂ f(x0 )                                    n ∂ f(x0 )
образом, d f = P       (xk − xk0 ) или d f = P       dxk .2
               k=1 ∂xk                       k=1 ∂xk
                                                          ∂ f(x0 )
    Поскольку частная производная              есть обычная производная от
                                           ∂xk
функции f(x) = f(x1 , . . . , xn), рассматриваемой как функция только одной
переменной xk при фиксированных остальных переменных, то для част-
ных производных справедливы все свойства обыкновенных производных.
    Пример 2. Найти частные производные первого порядка     »       функции
                        в точке M0 (2, 0); (b) g(x, y) = cos y(x + 1) в точке
               x+y                                          5
(a) f(x, y) =
                 Sx − 2Sy + 4
M0 (−1, 0) и исследовать функцию на дифференцируемость в этой точке.
   Решение. (a) Найдем значения функции в точке M0 и на координат-
ных линиях, проходящих через нее:
                                      1                       x                      2+ y
                       f(2, 0) = ,              f(x, 0) = ,           f(2, y) =           ;
                                      2                       4                       4

откуда fxœ (2, 0) = , fyœ (2, 0) = .
                        1                      1
                   4              4
   Если f(x, y) дифференцируема в точке M0 , то ее приращение в этой
точке представимо в виде

                                        − = (x − 2) + y + o(ρ)
                               x+y       1 1         1
         ∆ f(2, 0) =                                                                     при ρ          0,
                            Sx − 2Sy + 4 2 4         4
       »
где ρ = (x − 2)2 + y2 0 при (x, y) (2, 0).
    Преобразуя последнее равенство, получим
                                              y(x + y)Sx − 2S
                                          −                   = o(ρ),
                                              4(ySx − 2S + 4)

что справедливо. Действительно
  2
    Принято отождествлять приращения и дифференциалы независимых переменных: xk − xk0 =
= dxk .



                                                         8

Страницы