Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 8 стр.

UptoLike

f(x
0
)
∂x
k
= lim
xx
0
k
f
x
k
= lim
xx
0
f(x
0
1
, . . . , x
k
, . . . , x
0
n
) f(x
0
1
, . . . , x
0
k
, . . . , x
0
n
)
x
k
x
0
k
.
Альтернативное о бозначение f
x
k
(x
0
).
Обратное неверно, однако если все n частные производные функции
f(x)существуют в окрестности точки x
0
и непрерывны в самой этой точ-
ке, то f(x)дифференцируема в x
0
и коэффициенты A
k
=
f(x
0
)
∂x
k
. Таким
о бразом, d f =
n
P
k=1
f(x
0
)
∂x
k
(x
k
x
0
k
)или d f =
n
P
k=1
f(x
0
)
∂x
k
dx
k
.
2
Поскольку частная производная
f(x
0
)
∂x
k
есть обычная производная от
функции f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
), рассматриваемой как функция только одной
переменной x
k
при фиксированных остальных переменных, то для част-
ных производных справедливы все свойства обыкновенных производных.
Пример 2. Найти частные производные перв ого порядка ф ункции
(a) f(x, y)=
x + y
Sx 2Sy + 4
в точке M
0
(2,0); (b) g(x, y)= cos
5
»
y(x + 1)в точке
M
0
(1,0)и исследовать функцию на дифференцируемос ть в этой точке.
Решение. (a) Найдем значения функции в точке M
0
и на координат-
ных линиях, проходящих чер ез нее:
f(2, 0)=
1
2
, f(x,0)=
x
4
, f(2, y)=
2 + y
4
;
откуда f
x
(2,0)=
1
4
, f
y
(2,0)=
1
4
.
Если f(x, y)дифференцируема в точке M
0
, то ее приращение в этой
точке представимо в виде
f(2, 0)=
x + y
Sx 2Sy + 4
1
2
=
1
4
(x 2)+
1
4
y + o(ρ) при ρ 0,
где ρ =
»
(x 2)
2
+ y
2
0 при (x, y) (2,0).
Преобразуя по следнее ра венство, получим
y(x + y)Sx 2S
4(ySx 2S+ 4)
= o(ρ),
что справедливо. Действительно
2
Принято отождествлять приращения и дифференциалы не зависимых переменных: x
k
x
0
k
=
= dx
k
.
8