Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 10 стр.

UptoLike

точка (x
0
1
, . . . , x
0
n
, f(x
0
))лежит и на графике и на касательной плос-
кости;
отклонение графика от касательной пло скости представимо в виде:
f(x) f(x
0
)+
n
Q
k=1
f(x
0
)
∂x
k
(x
k
x
0
k
)= α(x)Sx x
0
S,
где lim
xx
0
α(x)= 0.
Отображение F(x) = (F
1
(x) , . . . , F
m
(x)), определенное на множестве
E R
n
и принимающее значения в R
m
, называют непрерывным в точке
x
0
> E, если
ε A 0 §δ A 0 x > E Sx x
0
S< δ SF(x) F(x
0
)S< ε.
Непрерывность отображения F(x)в x
0
равносильна непрерывности
всех его координатных функций F
i
(x), i = 1 , . . . , m в этой точке.
Отображение F(x ) = (F
1
(x) , . . . , F
m
(x)), определенное в окрестности
точки x
0
> E, называют дифференцируемым в этой точке, если найдется
линейное отображение L R
n
R
m
, для которого
F(x
0
)= F(x) F(x
0
)= L(x x
0
)+ α(x)Sx x
0
S, где lim
xx
0
α(x)= 0.
Рис. 1
При этом отображение L
называют производной отобра-
жения F(x)в точке x
0
и обо-
значают F
(x
0
). Дифференци-
руемо сть отображения F(x)в
x
0
равносильна дифференци-
руемо сти всех его координат-
ных функций F
i
(x), i = 1, . . . , m
в этой точке, при этом матрица
производной матрица Яко-
би име ет вид
F
(x
0
)=
∂F
1
( x
0
)
∂x
1
. . .
∂F
1
( x
0
)
∂x
n
∂F
m
( x
0
)
∂x
1
. . .
∂F
m
( x
0
)
∂x
n
.
10