Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

• точка (x
0
1
, . . . , x
0
n
, f(x
0
))лежит и на графике и на касательной плос-
кости;
• отклонение графика от касательной пло скости представимо в виде:
f(x)− f(x
0
)+
n
Q
k=1
∂f(x
0
)
∂x
k
(x
k
− x
0
k
)= α(x)Sx − x
0
S,
где lim
xx
0
α(x)= 0.
Отображение F(x) = (F
1
(x) , . . . , F
m
(x)), определенное на множестве
E ⊂ R
n
и принимающее значения в R
m
, называют непрерывным в точке
x
0
> E, если
∀ε A 0 §δ A 0 ∀x > E Sx − x
0
S< δ SF(x)− F(x
0
)S< ε.
Непрерывность отображения F(x)в x
0
равносильна непрерывности
всех его координатных функций F
i
(x), i = 1 , . . . , m в этой точке.
Отображение F(x ) = (F
1
(x) , . . . , F
m
(x)), определенное в окрестности
точки x
0
> E, называют дифференцируемым в этой точке, если найдется
линейное отображение L R
n
R
m
, для которого
∆F(x
0
)= F(x)− F(x
0
)= L(x − x
0
)+ α(x)Sx − x
0
S, где lim
xx
0
α(x)= 0.
Рис. 1
При этом отображение L
называют производной отобра-
жения F(x)в точке x
0
и обо-
значают F
(x
0
). Дифференци-
руемо сть отображения F(x)в
x
0
равносильна дифференци-
руемо сти всех его координат-
ных функций F
i
(x), i = 1, . . . , m
в этой точке, при этом матрица
производной — матрица Яко-
би име ет вид
F
(x
0
)=
∂F
1
( x
0
)
∂x
1
. . .
∂F
1
( x
0
)
∂x
n
∂F
m
( x
0
)
∂x
1
. . .
∂F
m
( x
0
)
∂x
n
.
10
   • точка (x10 , . . . , xn0 , f(x0 )) лежит и на графике и на касательной плос-
     кости;
   • отклонение графика от касательной плоскости представимо в виде:
                                  n
                                        ∂ f(x0 )
                f(x) − Œ f(x ) + Q
                             0
                                                 (xk − xk0 )‘ = α(x)Sx − x0 S,
                                          ∂xk
                                  k=1

     где lim0 α(x) = 0.
         x x

    Отображение F(x) = (F1 (x), . . . , Fm(x)), определенное на множестве
E ⊂ Rn и принимающее значения в Rm, называют непрерывным в точке
x0 > E, если

          ∀ε A 0 §δ A 0 ∀x > E     Sx − x0 S < δ  SF(x) − F(x0 )S < ε.

   Непрерывность отображения F(x) в x0 равносильна непрерывности
всех его координатных функций Fi (x), i = 1, . . . , m в этой точке.
   Отображение F(x) = (F1 (x), . . . , Fm(x)), определенное в окрестности
точки x0 > E, называют дифференцируемым в этой точке, если найдется
линейное отображение L  Rn Rm, для которого

   ∆F(x0 ) = F(x) − F(x0 ) = L(x − x0 ) + α(x)Sx − x0 S,        где lim0 α(x) = 0.
                                                                     x x

                                                       При этом отображение L
                                                   называют производной отобра-
                                                   жения F(x) в точке x0 и обо-
                                                   значают Fœ (x0 ). Дифференци-
                                                   руемость отображения F(x) в
                                                   x0 равносильна дифференци-
                                                   руемости всех его координат-
                                                   ных функций Fi (x), i = 1, . . . , m
                                                   в этой точке, при этом матрица
                                                   производной — матрица Яко-
                                                   би имеет вид

                                                              ’ ∂F1 (x ) . . . ∂F1 (x ) “
                                                                      0              0

                                                              – ∂x1              ∂xn —
                                                   Fœ (x0 ) = –
                                                              –                     —  —.
                                                              – ∂Fm(x0 )       ∂Fm (x ) —
                                                                         
                                                                                      0
                   Рис. 1                                     ” ∂x1      . . .
                                                                                 ∂xn •

                                          10

Страницы