Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ:

ВлГУ | Владимир

Составители:

Рубрика:

Математический анализ



(x, y, z)= G



(F(x, y, z))F



(x, y, z).

Вычисляем F(5,−4, −5) = (56, −140). Составляем матрицы производ-

ных отобр ажений F и G.



(x, y, z)=

4 −4 −4

2y 2x −8z

, F



(5,−4, −5)=

4 −4 −4

−8 10 40

;



(u, v)=

0 e

cos(u − v) − cos(u − v)

u+v

, G



(56, −140)=

0 e

−140

cos 196 − cos 196

−84

Перемножая полученные матрицы, получаем матриц у Ψ



(5,−4, −5).



(5,−4, −5)=

0 e

−140

cos 196 − cos 196

−84

4 −4 −4

−8 10 40

−8e

−140

10e

−140

40e

−140

12 cos 196 −14 cos 196 −44 cos 196

−4e

−84

36e

−84

Ответ.



(−2,−4)=

−4 cos 2 − 4e

−6

−4

+ 4 cos 2 − 4e

−6

−4

cos 2 − 8e

−12

−4

sin 2 − 2e

−4

cos 2 − 8e

−12

;



(5,−4, −5)=

−8e

−140

10e

−140

40e

−140

12 cos 196 −14 cos 196 −44 cos 196

−4e

−84

36e

−84

Пусть функция f(x) = f(x

, . . . , x

)определена в окрестности точки

= (x

, . . . , x

), ℓ — луч, с началом в точке x

в направлении вектора

ℓ = x > R

 x = x

+ t

p, t E 0.

Производной по направлению

p в x

функции f(x)называется

∂f(x

)

∂

= lim

ℓ?x x

f(x)− f(x

)

Sx − x

= lim

t0+

f(x

+ t

p)− f(x

)

если этот предел существует. Производная по направлению равна скоро-

сти изменения функции на соответству ющем луче. Если

∂f(x

)

∂x

существует,

                        Ψ (x, y, z) = G (F(x, y, z))F (x, y, z).

  Вычисляем F(5, −4, −5) = (56, −140). Составляем матрицы производ-
ных отображений F и G.
                  ¢̈ 4 −4 −4 £̈                                  ¢̈ 4 −4 −4 £̈
   F (x, y, z) = ¨
                  ¨
                  ¨ 2y 2x −8z ¨     ¨
                                    ¨  ,      F 
                                                  (5,         =  ¨
                                                                 ¨ −8 10 40 ¨
                                                                 ¨                ¨
                                                                                  ¨;
                  ¤̈                ¥̈                           ¤̈               ¥̈
                                                      −4, −5)
           ¢̈                             £̈                    ¢̈                     £̈
           ¨                              ¨                     ¨                      ¨
                  0            e v                                     0      e
           ¨                              ¨                     ¨                      ¨
                                                                                −140
           ¨
           ¨
G (u, v) = ¨                              ¨
                                          ¨
                                          ¨       (56,          ¨
                                                                ¨
                                                                ¨                      ¨
                                                                                       ¨
                                                                                       ¨
           ¨  cos(u    v)   cos(u      v) ¨ , G                 ¨   cos 196   cos  196 ¨ .
                                               
           ¨                              ¨                     ¨                      ¨
                     −    −         −                         =             −
           ¨ eu+v                         ¨                     ¨                      ¨
                                                       −140)
           ¤̈                             ¥̈                    ¤̈ e                   ¥̈
                              e u+v                                    −84    e −84


     Перемножая полученные матрицы, получаем матрицу Ψ (5, −4, −5).
                                ¢̈ 0          e−140 £̈
                                ¨
                                ¨                     ¨
                                                      ¨  ¢̈ 4 −4 −4          £̈
              Ψ (5, −4, −5) = ¨¨
                                ¨
                                ¨  cos 196    cos 196 ¨
                                                      ¨
                                                      ¨
                                                      ¨
                                                         ¨
                                                         ¨
                                                         ¨ −8 10 40          ¨
                                                                             ¨
                                                                             ¨=
                                ¨                     ¨
                                            −
                                ¨ e−84                ¨  ¤̈                  ¥̈
                                ¤̈            e       ¥̈
                                                −84

                        ¢̈ −8e−140                      40e−140 £̈
                        ¨
                        ¨
                                          10e−140                   ¨
                                                                    ¨
                      =¨¨
                        ¨
                        ¨  12 cos  196      cos 196         cos 196 ¨
                                                                    ¨
                                                                    ¨
                                                                    ¨  .
                        ¨                                           ¨
                                        −14          −44
                        ¨ −4e−84                         36e−84 ¨
                        ¤̈                 6e−84                    ¥̈
     Ответ.
                      ¢̈ −4 cos 2 − 4e−6                                          £̈
        Φ (−2, −4) = ¨                                                           ¨
                                                 4e−4 + 4 cos 2 − 4e−6
                      ¨
                      ¨ 2e−4 cos 2 − 8e−12 2e−4 sin 2 − 2e−4 cos 2 − 8e−12        ¨
                                                                                  ¨;
                      ¤̈                                                          ¥̈
                              ¢̈ −8e−140                   40e−140 £̈
                              ¨
                              ¨
                                              10e−140                  ¨
                                                                       ¨
             Ψ (5, −4, −5) = ¨
                              ¨
                              ¨
                              ¨  12 cos 196     cos 196       cos 196  ¨
                                                                       ¨
                                                                       ¨
                                                                       ¨  .
                              ¨                                        ¨
                                            −14          −44
                              ¨ −4e−84                                 ¨
                              ¤̈               6e           36e        ¥̈
                                                  −84           −84


      Пусть функция f(x) = f(x1 , . . . , xn) определена в окрестности точки
x0                                                                               Ñ:
     = (x10 , . . . , xn0 ), ℓ — луч, с началом в точке x0 в направлении вектора p

                                                   Ñ,
                          ℓ = x > Rn  x = x0 + t p         t E 0.

                                Ñ в x0 функции f(x) называется
     Производной по направлению p
                 ∂ f(x0 )           f(x) − f(x0 )                 Ñ) − f(x0 )
                                                         f(x0 + t p
                     Ñ
                             lim                    lim             ÑS
                                                                              ,
                                      Sx − x0 S
                          =                       =
                    ∂p      ℓ?x x 0                 t 0+         tS p

если этот предел существует. Производная по направлению равна скоро-
                                                                        ∂ f(x0 )
сти изменения функции на соответствующем луче. Если                              существует,
                                                                          ∂xk

                                              12

Заказать работу

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ:

Скляренко В.А.

Трубина О.И.

Математический анализ

Вы здесь

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ:

Скляренко В.А.

Трубина О.И.

Математический анализ

Страницы