Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 12 стр.

UptoLike

Ψ
Ψ
Ψ
(x, y, z)= G
(F(x, y, z))F
(x, y, z).
Вычисляем F(5,4, 5) = (56, 140). Составляем матрицы производ-
ных отобр ажений F и G.
F
(x, y, z)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
4 4 4
2y 2x 8z
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
, F
(5,4, 5)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
4 4 4
8 10 40
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
;
G
(u, v)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
0 e
v
cos(u v) cos(u v)
e
u+v
e
u+v
£
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¥
, G
(56, 140)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
0 e
140
cos 196 cos 196
e
84
e
84
£
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¥
.
Перемножая полученные матрицы, получаем матриц у Ψ
Ψ
Ψ
(5,4, 5).
Ψ
Ψ
Ψ
(5,4, 5)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
0 e
140
cos 196 cos 196
e
84
e
84
£
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¥
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
4 4 4
8 10 40
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
=
=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
8e
140
10e
140
40e
140
12 cos 196 14 cos 196 44 cos 196
4e
84
6e
84
36e
84
£
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¥
.
Ответ.
Φ
Φ
Φ
(2,4)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¤
4 cos 2 4e
6
4e
4
+ 4 cos 2 4e
6
2e
4
cos 2 8e
12
2e
4
sin 2 2e
4
cos 2 8e
12
£
¨
¨
¨
¨
¨
¥
;
Ψ
Ψ
Ψ
(5,4, 5)=
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
8e
140
10e
140
40e
140
12 cos 196 14 cos 196 44 cos 196
4e
84
6e
84
36e
84
£
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¥
.
Пусть функция f(x) = f(x
1
, . . . , x
n
)определена в окрестности точки
x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
), луч, с началом в точке x
0
в направлении вектора
Ñ
p:
= x > R
n
x = x
0
+ t
Ñ
p, t E 0.
Производной по направлению
Ñ
p в x
0
функции f(x)называется
f(x
0
)
Ñ
p
= lim
?x x
0
f(x) f(x
0
)
Sx x
0
S
= lim
t0+
f(x
0
+ t
Ñ
p) f(x
0
)
tS
Ñ
pS
,
если этот предел существует. Производная по направлению равна скоро-
сти изменения функции на соответству ющем луче. Если
f(x
0
)
∂x
k
существует,
12