Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

то суще ствует и с ней совпадает производная по направлению k-й коорди-
натной оси.
Если функция f(x)дифференцируема в точке x
0
, то по любому направ-
лению
Ñ
p в этой точке существует
∂f(x
0
)
∂
Ñ
p
=
n
Q
k=1
∂f(x
0
)
∂x
k
p
k
S
Ñ
pS
=
1
S
Ñ
pS
(grad f(x
0
),
Ñ
p), (1)
где grad f(x
0
)=
∂f(x
0
)
∂x
1
, . . . ,
∂f(x
0
)
∂x
n
— градиент функции f(x)в точке x
0
,
век тор, показывающий направление наибольшего роста функции; модуль
этого вектора равен соответствующей скорости рос та.
Если аргументы функции u(x)= u(x
1
, . . . , x
n
), (∆x
k
E 0) известны лишь
приближенно, x
1
= x
0
1
∆x
1
, . . . , x
n
= x
0
n
∆x
n
, то и значение ее можно найти
только приближенно. Поскольку разница между приращением функции и
ее дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка,
чем приращения ее аргументов, то абсолютная и относительная погреш-
ности вычисления функции могут быть оценены как
∆u =
n
Q
k=1
V
∂u
∂x
k
V∆x
k
; δu =
∆u
SuS
.
Пример 4. Радиусы оснований усеченного кон уса равны 36.7 0.2 см
и 27.5 0.1 см, угол между плоскостью большего основания и образующей
38 1
X
. Вычислить объем конуса и оценить абсолютную и относительную
погрешности результата.
Решение. Обозначим радиус большего основания R, меньшего r, угол
при основании конуса α. Достроим усеченный конус до полного. Его вы-
сота H = R tg α, объем V
1
=
1
3
πR
3
tg α. Аналогично объем отс екаемой части
конуса V
2
=
1
3
πr
3
tg α. Таким образом, объем усеченного конуса V(R, r, α)=
= V
1
−V
2
=
π
3
(R
3
−r
3
)tg α. При R = 36.7, r = 27.5, α = 38
X
= 0.6632251158 радиан,
о бъем V = 23427.19493. Абсолютная погрешность
∆V = V
∂V
∂R
V∆R + V
∂V
∂r
V∆r + V
∂V
∂α
V∆α =
= πR
2
tg α∆R + πr
2
tg α∆r +
π(R
3
− r
3
)
3 cos
2
α
∆α = 1689.601449.
Относительная погрешность
13
то существует и с ней совпадает производная по направлению k-й коорди-
натной оси.
    Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 , то по любому направ-
лению pÑ в этой точке существует
                      ∂ f(x0 )   n
                                   ∂ f(x0 ) pk
                                 Q
                                                 1
                                                                 Ñ),
                                               = Ñ (grad f(x0 ), p              (1)
                          Ñ                 Ñ
                                     ∂xk S pS S pS
                               =
                         ∂p
                               k=1

                      ∂ f(x0 )       ∂ f(x0 )
где grad f(x0 ) = ‹            ,...,           — градиент функции f(x) в точке x0 ,
                        ∂x1            ∂xn
вектор, показывающий направление наибольшего роста функции; модуль
этого вектора равен соответствующей скорости роста.
    Если аргументы функции u(x) = u(x1 , . . . , xn), (∆xk E 0) известны лишь
приближенно, x1 = x10  ∆x1 , . . . , xn = xn0  ∆xn, то и значение ее можно найти
только приближенно. Поскольку разница между приращением функции и
ее дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка,
чем приращения ее аргументов, то абсолютная и относительная погреш-
ности вычисления функции могут быть оценены как
                                  n
                          ∆u = Q V         V ∆xk ;
                                       ∂u                   ∆u
                                                     δu =       .
                                       ∂xk                  SuS
                                 k=1


    Пример 4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 36.7  0.2 см
и 27.5  0.1 см, угол между плоскостью большего основания и образующей
38  1X . Вычислить объем конуса и оценить абсолютную и относительную
погрешности результата.
    Решение. Обозначим радиус большего основания R, меньшего r, угол
при основании конуса α. Достроим усеченный конус до полного. Его вы-
                             1
сота H = R tg α, объем V1 = πR3 tg α. Аналогично объем отсекаемой части
                            3
            1 3
конуса V2 = πr tg α. Таким образом, объем усеченного конуса V(R, r, α) =
            3
= V1 −V2 = (R −r ) tg α. При R = 36.7, r = 27.5, α = 38X = 0.6632251158 радиан,
          π 3 3
          3
объем V = 23427.19493. Абсолютная погрешность

          ∆V = V    V ∆R + V V ∆r + V V ∆α =
                 ∂V         ∂V       ∂V
                 ∂R         ∂r       ∂α
                                          π(R3 − r3 )
              = πR2 tg α∆R + πr2 tg α∆r +             ∆α = 1689.601449.
                                           3 cos2 α
Относительная погрешность

                                              13

Страницы