ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Решение. Находим первые и вторые частные производные функции
f(x, y,z)
∂f
∂x
= −
yz
x
2
+zy
(xyz−zy+x
2
)(x
2
− yz)
,
∂f
∂y
=
zx
3
(xyz−zy+x
2
)(x
2
− yz)
,
∂f
∂z
=
yx
3
(xyz−zy+x
2
)(x
2
− yz)
;
∂
2
f
∂x
2
= −
z
3
y
3
−4 z
2
y
2
x
2
+6 z
2
y
2
x−4 x
3
yz−x
4
yz−2 x
5
zy
(zyx −zy+x
2
)
2
(x
2
− yz)
2
,
∂
2
f
∂y
2
=
2 zyx−2 zy+2 x
2
−x
3
z
2
x
3
(zyx −zy+x
2
)
2
(zy−x
2
)
2
,
∂
2
f
∂z
2
=
2 zyx−2 zy+2 x
2
−x
3
y
2
x
3
(zyx −zy+x
2
)
2
(zy−x
2
)
2
,
∂
2
f
∂x∂y
= −
2 z
2
y
2
x−3 z
2
y
2
+2 zyx
2
+x
4
zx
2
(zyx −zy+x
2
)
2
(zy−x
2
)
2
,
∂
2
f
∂x∂z
= −
2 z
2
y
2
x−3 z
2
y
2
+2 zyx
2
+x
4
yx
2
(zyx −zy+x
2
)
2
(zy−x
2
)
2
,
∂
2
f
∂y∂z
=
x
4
+z
2
y
2
x−z
2
y
2
x
3
(zyx −zy+x
2
)
2
(zy−x
2
)
2
.
Зная вторые частные производные, составляем второй дифференциал.
Ответ. d
2
f=
x
4
yz+2x
5
+4x
3
yz+4y
2
z
2
x
2
−6y
2
z
2
x− y
3
z
3
yz dx
2
(xyz+x
2
− yz)
2
(x
2
− yz)
2
+
2xyz+2x
2
−2yz−x
3
x
3
z
2
dy
2
(xyz+x
2
− yz)
2
(x
2
− yz)
2
−
−
−2 xyz−2 x
2
+2 yz+x
3
x
3
y
2
dz
2
(xyz+x
2
− yz)
2
(x
2
− yz)
2
− 2
x
2
x
4
+2 x
2
yz+2 y
2
z
2
x−3 y
2
z
2
z dx dy
(xyz+x
2
− yz)
2
(x
2
− yz)
2
−
− 2
x
4
+2 x
2
yz+2 y
2
z
2
x−3 y
2
z
2
x
2
ydx dz
(xyz+x
2
− yz)
2
(x
2
− yz)
2
+ 2
x
4
+ y
2
z
2
x− y
2
z
2
x
3
dy dz
(xyz+x
2
− yz)
2
(x
2
− yz)
2
.
Если функция f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)определена в окрестности точки x
0
=
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
)> R
n
и в э той окрес тности r + 1 раз дифференцируема, то для
нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагран-
жа: для каждого x из этой окрестности
f(x)= f(x
0
)+d f(x
0
)+
1
2!
d
2
f(x
0
)+. . .+
1
r!
d
r
f(x
0
)+
1
(r + 1)!
d
r+1
f(x
0
+θ(x−x
0
)),
где θ — некоторое число из интервала (0, 1).
Используется также формула Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано: если функция f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)определена в окрес тности точки
x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
)> R
n
и в этой окрестно сти r раз дифференцируема, то в
этой окрес тности
f(x)= f(x
0
)+ d f(x
0
)+
1
2!
d
2
f(x
0
)+ . . . +
1
r!
d
r
f(x
0
)+ α(x)Sx − x
0
S
r
,
где lim
xx
0
α(x)= 0.
Пример 6. Использ уя известные разложения основных элементар-
ных функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано,
разложить функцию f(x, y)=
x − y
»
ch(x + y)
по формуле Тейлора в окрестно-
сти точки x
0
= 1, y
0
= −1 до o(ρ
3
), где ρ =
»
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
.
15
Решение. Находим первые и вторые частные производные функции
f(x, y, z)
∂f yzx 2 +zy ∂f zx 3 ∂f yx 3
∂x = − (xyz−zy+x2)(x2−yz) , ∂y = (xyz−zy+x 2 )(x 2 −yz) , ∂z = (xyz−zy+x 2 )(x 2 −yz) ;
∂2 f z3 y3 −4 z2 y2 x 2 +6 z2 y2 x−4 x 3 yz−x 4 yz−2 x 5 zy ∂2 f 2 zyx−2 zy+2 x 2 −x 3 z2 x 3
∂x 2 =− (zyx−zy+x 2 ) (x 2 −yz)2
2 , ∂y2 = (zyx−zy+x 2 ) (zy−x 2 )
2 2 ,
∂2 f 2 zyx−2 zy+2 x 2 −x 3 y2 x 3 ∂2 f 2 z2 y2 x−3 z2 y2 +2 zyx 2 +x 4 zx 2
∂z2 = (zyx−zy+x 2 ) (zy−x 2 )
2 2 , ∂x∂y =− (zyx−zy+x 2 ) (zy−x 2 )
2 2 ,
∂2 f 2 z2 y2 x−3 z2 y2 +2 zyx 2 +x 4 yx 2 ∂2 f x 4 +z2 y2 x−z2 y2 x 3
∂x∂z =− (zyx−zy+x 2 ) (zy−x 2 )
2 2 , ∂y∂z = (zyx−zy+x 2 ) (zy−x 2 )
2 2 .
Зная вторые частные производные, составляем второй дифференциал.
x 4 yz+2x 5 +4x 3 yz+4y2 z2 x 2 −6y2 z2 x−y3 z3 yz dx 2 2xyz+2x 2 −2yz−x 3 x 3 z2 dy2
Ответ. d2 f= (xyz+x 2 −yz) (x 2 −yz)
2 2
(xyz+x 2 −yz) (x 2 −yz)
+ 2 2 −
−2 xyz−2 x 2 +2 yz+x 3 x 3 y2 dz2 x x +2 x yz+2 y z x−3 y z z dx dy
2 4 2 2 2 2 2
− (xyz+x 2 −yz) (x 2 −yz)
2 2 −2 (xyz+x 2 −yz) (x 2 −yz)
2 2 −
x 4 +2 x 2 yz+2 y2 z2 x−3 y2 z2 x 2 ydx dz x 4 +y2 z2 x−y2 z2 x 3 dy dz
−2 (xyz+x 2 −yz) (x 2 −yz)
2 2 +2 (xyz+x 2 −yz) (x 2 −yz)
2 2 .
Если функция f(x) = f(x1 , . . . , xn) определена в окрестности точки x0 =
= (x10 , . . . , xn0 ) > Rn и в этой окрестности r + 1 раз дифференцируема, то для
нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагран-
жа: для каждого x из этой окрестности
1 1 1
f(x) = f(x0 )+d f(x0 )+ d2 f(x0 )+. . .+ dr f(x0 )+ dr+1 f(x0 +θ(x−x0 )),
2! r! (r + 1)!
где θ — некоторое число из интервала (0, 1).
Используется также формула Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано: если функция f(x) = f(x1 , . . . , xn) определена в окрестности точки
x0 = (x10 , . . . , xn0 ) > Rn и в этой окрестности r раз дифференцируема, то в
этой окрестности
1 2 1
f(x) = f(x0 ) + d f(x0 ) + d f(x0 ) + . . . + dr f(x0 ) + α(x)Sx − x0 Sr ,
2! r!
где lim0 α(x) = 0.
x x
Пример 6. Используя известные разложения основных элементар-
ных функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано,
x−y
разложить функцию f(x, y) = » по формуле Тейлора в окрестно-
ch(x + y)
»
сти точки x0 = 1, y0 = −1 до o(ρ ), где ρ = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 .
3
15
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
