Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 15 стр.

UptoLike

Решение. Находим первые и вторые частные производные функции
f(x, y,z)
f
∂x
=
yz
x
2
+zy
(xyzzy+x
2
)(x
2
yz)
,
f
y
=
zx
3
(xyzzy+x
2
)(x
2
yz)
,
f
∂z
=
yx
3
(xyzzy+x
2
)(x
2
yz)
;
2
f
∂x
2
=
z
3
y
3
4 z
2
y
2
x
2
+6 z
2
y
2
x4 x
3
yzx
4
yz2 x
5
zy
(zyx zy+x
2
)
2
(x
2
yz)
2
,
2
f
y
2
=
2 zyx2 zy+2 x
2
x
3
z
2
x
3
(zyx zy+x
2
)
2
(zyx
2
)
2
,
2
f
∂z
2
=
2 zyx2 zy+2 x
2
x
3
y
2
x
3
(zyx zy+x
2
)
2
(zyx
2
)
2
,
2
f
∂xy
=
2 z
2
y
2
x3 z
2
y
2
+2 zyx
2
+x
4
zx
2
(zyx zy+x
2
)
2
(zyx
2
)
2
,
2
f
∂x∂z
=
2 z
2
y
2
x3 z
2
y
2
+2 zyx
2
+x
4
yx
2
(zyx zy+x
2
)
2
(zyx
2
)
2
,
2
f
y∂z
=
x
4
+z
2
y
2
xz
2
y
2
x
3
(zyx zy+x
2
)
2
(zyx
2
)
2
.
Зная вторые частные производные, составляем второй дифференциал.
Ответ. d
2
f=
x
4
yz+2x
5
+4x
3
yz+4y
2
z
2
x
2
6y
2
z
2
x y
3
z
3
yz dx
2
(xyz+x
2
yz)
2
(x
2
yz)
2
+
2xyz+2x
2
2yzx
3
x
3
z
2
dy
2
(xyz+x
2
yz)
2
(x
2
yz)
2
2 xyz2 x
2
+2 yz+x
3
x
3
y
2
dz
2
(xyz+x
2
yz)
2
(x
2
yz)
2
2
x
2
x
4
+2 x
2
yz+2 y
2
z
2
x3 y
2
z
2
z dx dy
(xyz+x
2
yz)
2
(x
2
yz)
2
2
x
4
+2 x
2
yz+2 y
2
z
2
x3 y
2
z
2
x
2
ydx dz
(xyz+x
2
yz)
2
(x
2
yz)
2
+ 2
x
4
+ y
2
z
2
x y
2
z
2
x
3
dy dz
(xyz+x
2
yz)
2
(x
2
yz)
2
.
Если функция f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)определена в окрестности точки x
0
=
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
)> R
n
и в э той окрес тности r + 1 раз дифференцируема, то для
нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагран-
жа: для каждого x из этой окрестности
f(x)= f(x
0
)+d f(x
0
)+
1
2!
d
2
f(x
0
)+. . .+
1
r!
d
r
f(x
0
)+
1
(r + 1)!
d
r+1
f(x
0
+θ(xx
0
)),
где θ некоторое число из интервала (0, 1).
Используется также формула Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано: если функция f(x)= f(x
1
, . . . , x
n
)определена в окрес тности точки
x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
)> R
n
и в этой окрестно сти r раз дифференцируема, то в
этой окрес тности
f(x)= f(x
0
)+ d f(x
0
)+
1
2!
d
2
f(x
0
)+ . . . +
1
r!
d
r
f(x
0
)+ α(x)Sx x
0
S
r
,
где lim
xx
0
α(x)= 0.
Пример 6. Использ уя известные разложения основных элементар-
ных функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано,
разложить функцию f(x, y)=
x y
»
ch(x + y)
по формуле Тейлора в окрестно-
сти точки x
0
= 1, y
0
= 1 до o(ρ
3
), где ρ =
»
(x x
0
)
2
+ (y y
0
)
2
.
15