Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 17 стр.

UptoLike

2
u
∂x
2
= 48x
2
+ 24xy + 6
T
(x
0
,y
0
)
= 1062,
2
u
∂xy
= 12x
2
6y 4
T
(x
0
,y
0
)
= 170,
2
u
y
2
= 12y
2
6x + 4
T
(x
0
,y
0
)
= 128,
d
2
u(x
0
, y
0
)= 1062(x 4)
2
+ 340(x 4)(y 3) 128(y 3)
2
;
3
u
∂x
3
= 96x + 24y
T
(x
0
,y
0
)
= 456,
3
u
∂x
2
y
= 24x
T
(x
0
,y
0
)
= 96,
3
u
∂xy
2
= 6,
3
u
y
3
= 24y
T
(x
0
,y
0
)
= 72,
d
3
u(x
0
, y
0
)= 456(x4)
3
+288(x4)
2
(y3)18(x4)(y3)
2
72(y3)
3
;
4
u
∂x
4
= 96,
4
u
∂x
3
y
= 24,
4
u
∂x
2
y
2
= 0,
4
u
∂xy
3
= 0,
4
u
y
4
= 24,
d
4
u(x
0
, y
0
)= 96(x 4)
4
+ 96(x 4)
3
(y 3) 24(y 3)
4
.
Отсюда получаем ответ.
Ответ. u = 16 45 + 15 88(x 4)+ 76(y 3) 64 (y 3)
2
+ 531 (x 4)
2
+
+ 170 (x 4)(y 3) 3 (x 4)(y 3)
2
12 (y 3)
3
+ 48 (x 4)
2
(y 3)+
+ 76 (x 4)
3
+ 4 (x 4)
3
(y 3) (y 3)
4
+ 4 (x 4)
4
.
4. Функции, заданные неявно. Неявные отображения.
Замена переменных
Говорят, что y = y(x), x > E R
n
функция, неявно заданная урав-
нением f(x
1
, . . . , x
n
, y)= 0, если на множестве E выполняется тождество
f(x
1
, . . . , x
n
, y(x
1
, . . . , x
n
)) 0.
Справедлива теорема о неявной функции.
Теорема. Если функция f(x, y)= f(x
1
, . . . , x
n
, y)определена и непре-
рывно дифференцируема в окрестности точки (x
0
, y
0
)= (x
0
1
, . . . , x
0
n
, y
0
),
причем f(x
0
, y
0
)= 0,
f
y
(x
0
, y
0
)x 0, то найдется δ A 0 и непрерывно диф-
ференцируемая при Sx x
0
S< δ фу нкция y = y(x)такая, что y(x
0
)= y
0
и
при всех x Sx x
0
S< δ выполняется f(x
1
, . . . , x
n
, y(x
1
, . . . , x
n
)) 0. Функ-
ция y(x), обладающая указанными свойствами, единственна, и ее частные
производные уд овлетворяют соотношениям:
y( x)
∂x
k
=
f(x, y(x))
∂x
k
f(x, y(x))
y
, Sx x
0
S< δ, k = 1, . . . , n.
Заме тим, что если в условиях теоремы исходная функция f(x, y)имеет
17