Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

∂
2
u
∂x
2
= 48x
2
+ 24xy + 6
T
(x
0
,y
0
)
= 1062,
∂
2
u
∂x∂y
= 12x
2
− 6y − 4
T
(x
0
,y
0
)
= 170,
∂
2
u
∂y
2
= −12y
2
− 6x + 4
T
(x
0
,y
0
)
= −128,
d
2
u(x
0
, y
0
)= 1062(x − 4)
2
+ 340(x − 4)(y− 3)− 128(y − 3)
2
;
∂
3
u
∂x
3
= 96x + 24y
T
(x
0
,y
0
)
= 456,
∂
3
u
∂x
2
∂y
= 24x
T
(x
0
,y
0
)
= 96,
∂
3
u
∂x∂y
2
= −6,
∂
3
u
∂y
3
= −24y
T
(x
0
,y
0
)
= −72,
d
3
u(x
0
, y
0
)= 456(x−4)
3
+288(x−4)
2
(y−3)−18(x−4)(y−3)
2
−72(y−3)
3
;
∂
4
u
∂x
4
= 96,
∂
4
u
∂x
3
∂y
= 24,
∂
4
u
∂x
2
∂y
2
= 0,
∂
4
u
∂x∂y
3
= 0,
∂
4
u
∂y
4
= −24,
d
4
u(x
0
, y
0
)= 96(x − 4)
4
+ 96(x − 4)
3
(y − 3)− 24(y− 3)
4
.
Отсюда получаем ответ.
Ответ. u = 16 45 + 15 88(x − 4)+ 76(y− 3)− 64 (y − 3)
2
+ 531 (x − 4)
2
+
+ 170 (x − 4)(y − 3)− 3 (x − 4)(y− 3)
2
− 12 (y− 3)
3
+ 48 (x − 4)
2
(y − 3)+
+ 76 (x − 4)
3
+ 4 (x − 4)
3
(y − 3)− (y − 3)
4
+ 4 (x − 4)
4
.
4. Функции, заданные неявно. Неявные отображения.
Замена переменных
Говорят, что y = y(x), x > E ⊂ R
n
— функция, неявно заданная урав-
нением f(x
1
, . . . , x
n
, y)= 0, если на множестве E выполняется тождество
f(x
1
, . . . , x
n
, y(x
1
, . . . , x
n
)) 0.
Справедлива теорема о неявной функции.
Теорема. Если функция f(x, y)= f(x
1
, . . . , x
n
, y)определена и непре-
рывно дифференцируема в окрестности точки (x
0
, y
0
)= (x
0
1
, . . . , x
0
n
, y
0
),
причем f(x
0
, y
0
)= 0,
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)x 0, то найдется δ A 0 и непрерывно диф-
ференцируемая при Sx − x
0
S< δ фу нкция y = y(x)такая, что y(x
0
)= y
0
и
при всех x Sx − x
0
S< δ выполняется f(x
1
, . . . , x
n
, y(x
1
, . . . , x
n
)) 0. Функ-
ция y(x), обладающая указанными свойствами, единственна, и ее частные
производные уд овлетворяют соотношениям:
∂y( x)
∂x
k
= −
∂f(x, y(x))
∂x
k
∂f(x, y(x))
∂y
, Sx − x
0
S< δ, k = 1, . . . , n.
Заме тим, что если в условиях теоремы исходная функция f(x, y)имеет
17
                        ∂2 u
                           2
                             = 48x2 + 24xy + 6T(x ,y ) = 1062,
                        ∂x                        0 0
                           ∂2 u
                                = 12x2 − 6y − 4T(x ,y ) = 170,
                          ∂x∂y                    0 0
                          2
                         ∂u
                              = −12y2 − 6x + 4T(x ,y ) = −128,
                         ∂y2                     0 0

          d2 u(x0 , y0 ) = 1062(x − 4)2 + 340(x − 4)(y − 3) − 128(y − 3)2 ;
             ∂3 u                                  ∂3 u
                  = 96x + 24yT (x0 ,y0 )
                                         =  456,          = 24xT(x ,y ) = 96,
             ∂x3                                  ∂x2 ∂y          0 0
                        3
                       ∂u                ∂u3

                           2
                             = −6,            = −24yT(x ,y ) = −72,
                      ∂x∂y               ∂y3            0 0

    d3 u(x0 , y0 ) = 456(x−4)3 +288(x−4)2 (y−3)−18(x−4)(y−3)2 −72(y−3)3 ;
         ∂4 u          ∂4 u            ∂4 u            ∂4 u           ∂4 u
              = 96,          = 24,            = 0,          = 0,           = −24,
         ∂x4          ∂x3 ∂y          ∂x2 ∂y2         ∂x∂y3           ∂y4
           d4 u(x0 , y0 ) = 96(x − 4)4 + 96(x − 4)3 (y − 3) − 24(y − 3)4 .

    Отсюда получаем ответ.
    Ответ. u = 1645 + 1588(x − 4) + 76(y − 3) − 64 (y − 3)2 + 531 (x − 4)2 +
+ 170 (x − 4) (y − 3) − 3 (x − 4) (y − 3)2 − 12 (y − 3)3 + 48 (x − 4)2 (y − 3) +
+ 76 (x − 4)3 + 4 (x − 4)3 (y − 3) − (y − 3)4 + 4 (x − 4)4 .

4. Функции, заданные неявно. Неявные отображения.
   Замена переменных
   Говорят, что y = y(x), x > E ⊂ Rn — функция, неявно заданная урав-
нением f(x1 , . . . , xn , y) = 0, если на множестве E выполняется тождество
f(x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn))  0.
   Справедлива теорема о неявной функции.
   Теорема. Если функция f(x, y) = f(x1 , . . . , xn , y) определена и непре-
рывно дифференцируема в окрестности точки (x0 , y0 ) = (x10 , . . . , xn0 , y0 ),
причем f(x0 , y0 ) = 0,      (x , y ) x 0, то найдется δ A 0 и непрерывно диф-
                          ∂f 0 0
                          ∂y
ференцируемая при Sx − x0 S < δ функция y = y(x) такая, что y(x0 ) = y0 и
при всех x  Sx − x0 S < δ выполняется f(x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn))  0. Функ-
ция y(x), обладающая указанными свойствами, единственна, и ее частные
производные удовлетворяют соотношениям:
                               €                  Sx − x0 S < δ,
          ∂y(x)    ∂ f(x, y(x)) ∂ f(x, y(x))
                =−                           ,                     k = 1, . . . , n.
           ∂xk         ∂xk           ∂y
    Заметим, что если в условиях теоремы исходная функция f(x, y) имеет

                                           17

Страницы