Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

F(1,−1,1)= 0,
∂F
∂z
(1,−1,1)= −4 x 0
и, следовательно, уравнение F(x, y, z)= 0 в некоторой окрестности точ-
ки (1, − 1)однозначно задает непрерывно дифференцируемую функцию
z=z(x,y), обращающую это уравнение в тождество и такую, что z(1,−1)= 1.
Заме тим, что поскольку функция F(x, y, z)бесконечно дифференцируема,
то бесконечно дифференцируемой будет и z = z(x, y).
Дифференцируя тождество F(x, y, z(x, y)) 0, полу чим
2x dx + 10ydz − 2z dz + 7ydz + 7z dy +
+ x dz + z dx + 3x dy+ 3ydx + 4 dz = 0, (2)
откуда, подставляя x = 1, y = −1, z = 1, находим, что dz = 0.
Дифференцируем тождество (2) с учетом того, что x и y — независи-
мые переменные, и, следовательно, d
2
x = 0, d
2
y = 0, а z = z(x, y)— их
функция:
2 dx
2
+ 10 dy
2
− 2z d
2
z − 2 dz
2
+ 7yd
2
z + 7 dydz +
+ 7 dz dy + dx dz + x d
2
z + dz dx + 3 dx dy + 3 dydx + 4 d
2
z = 0. (3)
Подставляя в (3) x = 1, y = −1, z = 1, dz = 0, получим
2 dx
2
+ 10 dy
2
− 2 d
2
z − 7 d
2
z + d
2
z + 6 dx dy + 4 d
2
z = 0,
откуда следует, что
d
2
z =
1
2
dx
2
+ 3 dx dy + 5 dy
2
.
Решить задачу можно иначе, вычисляя частные производные функции
z(x, y).
Применяя известные формулы
∂z
∂x
= −
∂F
∂x
∂F
∂z
;
∂z
∂y
= −
∂F
∂y
∂F
∂z
,
найдем:
∂z
∂x
= −
2 x + z + 3y
−2z + 7y + x + 4
;
∂z
∂y
= −
10y + 7z + 3x
−2z + 7y + x + 4
.
Дифференцируя полученные равенства с учетом того, что z = z(x, y),
найдем:
19
                                          ∂z (1, −1, 1)
                                          ∂F
                      F(1, −1, 1) = 0,                    = −4 x 0

и, следовательно, уравнение F(x, y, z) = 0 в некоторой окрестности точ-
ки (1, − 1) однозначно задает непрерывно дифференцируемую функцию
z=z(x,y), обращающую это уравнение в тождество и такую, что z(1, −1) = 1.
Заметим, что поскольку функция F(x, y, z) бесконечно дифференцируема,
то бесконечно дифференцируемой будет и z = z(x, y).
    Дифференцируя тождество F(x, y, z(x, y))  0, получим

 2x dx + 10ydz − 2z dz + 7ydz + 7z dy +
                               + x dz + z dx + 3x dy + 3ydx + 4 dz = 0, (2)

откуда, подставляя x = 1, y = −1, z = 1, находим, что dz = 0.
   Дифференцируем тождество (2) с учетом того, что x и y — независи-
мые переменные, и, следовательно, d2 x = 0, d2 y = 0, а z = z(x, y) — их
функция:

 2 dx2 + 10 dy2 − 2z d2 z − 2 dz2 + 7yd2 z + 7 dydz +
        + 7 dz dy + dx dz + x d2 z + dz dx + 3 dx dy + 3 dydx + 4 d2 z = 0. (3)

   Подставляя в (3) x = 1, y = −1, z = 1, dz = 0, получим

          2 dx2 + 10 dy2 − 2 d2 z − 7 d2 z + d2 z + 6 dx dy + 4 d2 z = 0,

откуда следует, что

                        d2 z = ‰dx2 + 3 dx dy + 5 dy2 Ž.
                               1
                               2

   Решить задачу можно иначе, вычисляя частные производные функции
z(x, y).
   Применяя известные формулы

                          =− € ;                  =− € ,
                       ∂z   ∂F ∂F              ∂z   ∂F ∂F
                       ∂x   ∂x ∂z              ∂y   ∂y ∂z

найдем:
               ∂z      2x + z + 3y             ∂z     10y + 7z + 3x
                  =−                  ;           =−                  .
               ∂x    −2z + 7y + x + 4          ∂y    −2z + 7y + x + 4

   Дифференцируя полученные равенства с учетом того, что z = z(x, y),
найдем:

                                          19

Страницы