Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 19 стр.

UptoLike

F(1,1,1)= 0,
∂F
∂z
(1,1,1)= 4 x 0
и, следовательно, уравнение F(x, y, z)= 0 в некоторой окрестности точ-
ки (1, 1)однозначно задает непрерывно дифференцируемую функцию
z=z(x,y), обращающую это уравнение в тождество и такую, что z(1,1)= 1.
Заме тим, что поскольку функция F(x, y, z)бесконечно дифференцируема,
то бесконечно дифференцируемой будет и z = z(x, y).
Дифференцируя тождество F(x, y, z(x, y)) 0, полу чим
2x dx + 10ydz 2z dz + 7ydz + 7z dy +
+ x dz + z dx + 3x dy+ 3ydx + 4 dz = 0, (2)
откуда, подставляя x = 1, y = 1, z = 1, находим, что dz = 0.
Дифференцируем тождество (2) с учетом того, что x и y независи-
мые переменные, и, следовательно, d
2
x = 0, d
2
y = 0, а z = z(x, y) их
функция:
2 dx
2
+ 10 dy
2
2z d
2
z 2 dz
2
+ 7yd
2
z + 7 dydz +
+ 7 dz dy + dx dz + x d
2
z + dz dx + 3 dx dy + 3 dydx + 4 d
2
z = 0. (3)
Подставляя в (3) x = 1, y = 1, z = 1, dz = 0, получим
2 dx
2
+ 10 dy
2
2 d
2
z 7 d
2
z + d
2
z + 6 dx dy + 4 d
2
z = 0,
откуда следует, что
d
2
z =
1
2
dx
2
+ 3 dx dy + 5 dy
2
.
Решить задачу можно иначе, вычисляя частные производные функции
z(x, y).
Применяя известные формулы
∂z
∂x
=
∂F
∂x
∂F
∂z
;
∂z
y
=
∂F
y
∂F
∂z
,
найдем:
∂z
∂x
=
2 x + z + 3y
2z + 7y + x + 4
;
∂z
y
=
10y + 7z + 3x
2z + 7y + x + 4
.
Дифференцируя полученные равенства с учетом того, что z = z(x, y),
найдем:
19