Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

∂
2
z
∂x
2
= −
(2 + z
x
)(−2z + 7y + x + 4)− (2x + z + 3y)(−2z
x
+ 1)
(−2z + 7y + x + 4)
2
,
∂
2
z
∂x ∂y
= −
(z
y
+ 3)(−2z + 7y + x + 4)− (2x + z + 3y)(−2z
y
+ 7)
(−2z + 7y + x + 4)
2
,
∂
2
z
∂y
2
= −
(10 + 7z
y
)(−2z + 7y + x + 4)− (10y + 7 z + 3x)(−2z
y
+ 7)
(−2z + 7y + x + 4)
2
.
Подставляя x
0
= 1, y
0
= −1, z
0
= 1, получим:
∂z
∂x
= 0,
∂z
∂y
= 0;
∂
2
z
∂x
2
=
1
2
,
∂
2
z
∂x ∂y
=
3
4
,
∂
2
z
∂y
2
=
5
2
.
Таким образом, опять полу чим d
2
z =
1
2
dx
2
+ 3 dx dy+ 5 dy
2
.
Ответ. d
2
z =
1
2
dx
2
+ 3 dx dy+ 5 dy
2
.
Пример 9. Найти в точке M
0
(1,1)дифференциалы первого и второго
порядков функций u = u(x, y)и v = v(x, y), заданных неявно системой
уравнений u
2
+ xv − y = 1, uv − xy = 0, если u(1, 1)= 1, v(1, 1)= 1.
Решение. Пусть F(x, y, u,v)= u
2
+ xv − y − 1, G(x, y,u,v)= uv − xy.
Покажем, что для системы уравнений
F(x, y,u,v)= u
2
+ xv − y − 1 = 0,
G(x, y, u, v)= uv − xy = 0
(4)
в окрестности точки x
0
= 1, y
0
= 1, u
0
= 1, v
0
= 1 выполнены условия теоре-
мы о системе функций, заданных неявно. Действительно, функции F и G
равны нулю в точке (1,1, 1, 1), непрерывно дифф еренцируемы в ее окрест-
ности (любое число раз), якобиан
D(F,G)
D(u,v)
= W
2u x
v u
W= 2u
2
− xv
в заданной точке (1,1,1, 1)отличен от нуля. Следовательно, в некоторой
окрестности точки (1,1)можно определить бесконечно дифференцируе-
мые функции u = u(x, y), v = v(x, y), обра щающие систему у равнений в
тождества и удовлетворяющие равенствам u(1, 1)= 1, v(1,1)= 1.
Чтобы найти диф ференциалы функций u(x, y)и v(x, y), продиффе-
ренцируем тождества (4):
20
             ∂2 z     (2 + zœx )(−2z + 7y + x + 4) − (2x + z + 3y)(−2zœx + 1)
                                                                              ,
                                        (−2z + 7y + x + 4)2
                  = −
             ∂x2
             ∂2 z      (zœy + 3)(−2z + 7y + x + 4) − (2x + z + 3y)(−2zœy + 7)
                                                                                  ,
                                          (−2z + 7y + x + 4)2
                    =−
            ∂x ∂y
            ∂2 z      (10 + 7zœy)(−2z + 7y + x + 4) − (10y + 7z + 3x)(−2zœy + 7)
                                                                                      .
                                         (−2z + 7y + x + 4)2
                 =−
            ∂y2

   Подставляя x0 = 1, y0 = −1, z0 = 1, получим:
            ∂z             ∂z            ∂2 z  1         ∂2 z  3      ∂2 z 5
               = 0,           = 0;          2
                                              = ,             = ,         = .
            ∂x             ∂y            ∂x    2        ∂x ∂y 4       ∂y2 2

   Таким образом, опять получим d2 z = ‰dx2 + 3 dx dy + 5 dy2 Ž.
                                                    1
                                                    2
             d2 z = ‰dx2 + 3 dx dy + 5 dy2 Ž.
                      1
   Ответ.
                      2
   Пример 9. Найти в точке M0 (1, 1) дифференциалы первого и второго
порядков функций u = u(x, y) и v = v(x, y), заданных неявно системой
уравнений u2 + xv − y = 1, uv − xy = 0, если u(1, 1) = 1, v(1, 1) = 1.
   Решение. Пусть F(x, y, u, v) = u2 + xv − y − 1, G(x, y, u, v) = uv − xy.
Покажем, что для системы уравнений

                            F(x, y, u, v) = u2 + xv − y − 1 = 0,
                          œ                                                               (4)
                            G(x, y, u, v) = uv − xy = 0

в окрестности точки x0 = 1, y0 = 1, u0 = 1, v0 = 1 выполнены условия теоре-
мы о системе функций, заданных неявно. Действительно, функции F и G
равны нулю в точке (1, 1, 1, 1), непрерывно дифференцируемы в ее окрест-
ности (любое число раз), якобиан

                            D(F, G)    2u x
                                    =W      W = 2u2 − xv
                            D(u, v)     v u

в заданной точке (1, 1, 1, 1) отличен от нуля. Следовательно, в некоторой
окрестности точки (1, 1) можно определить бесконечно дифференцируе-
мые функции u = u(x, y), v = v(x, y), обращающие систему уравнений в
тождества и удовлетворяющие равенствам u(1, 1) = 1, v(1, 1) = 1.
   Чтобы найти дифференциалы функций u(x, y) и v(x, y), продиффе-
ренцируем тождества (4):


                                             20

Страницы