Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 20 стр.

UptoLike

2
z
∂x
2
=
(2 + z
x
)(2z + 7y + x + 4) (2x + z + 3y)(2z
x
+ 1)
(2z + 7y + x + 4)
2
,
2
z
∂x y
=
(z
y
+ 3)(2z + 7y + x + 4) (2x + z + 3y)(2z
y
+ 7)
(2z + 7y + x + 4)
2
,
2
z
y
2
=
(10 + 7z
y
)(2z + 7y + x + 4) (10y + 7 z + 3x)(2z
y
+ 7)
(2z + 7y + x + 4)
2
.
Подставляя x
0
= 1, y
0
= 1, z
0
= 1, получим:
∂z
∂x
= 0,
∂z
y
= 0;
2
z
∂x
2
=
1
2
,
2
z
∂x y
=
3
4
,
2
z
y
2
=
5
2
.
Таким образом, опять полу чим d
2
z =
1
2
dx
2
+ 3 dx dy+ 5 dy
2
.
Ответ. d
2
z =
1
2
dx
2
+ 3 dx dy+ 5 dy
2
.
Пример 9. Найти в точке M
0
(1,1)дифференциалы первого и второго
порядков функций u = u(x, y)и v = v(x, y), заданных неявно системой
уравнений u
2
+ xv y = 1, uv xy = 0, если u(1, 1)= 1, v(1, 1)= 1.
Решение. Пусть F(x, y, u,v)= u
2
+ xv y 1, G(x, y,u,v)= uv xy.
Покажем, что для системы уравнений
F(x, y,u,v)= u
2
+ xv y 1 = 0,
G(x, y, u, v)= uv xy = 0
(4)
в окрестности точки x
0
= 1, y
0
= 1, u
0
= 1, v
0
= 1 выполнены условия теоре-
мы о системе функций, заданных неявно. Действительно, функции F и G
равны нулю в точке (1,1, 1, 1), непрерывно дифф еренцируемы в ее окрест-
ности (любое число раз), якобиан
D(F,G)
D(u,v)
= W
2u x
v u
W= 2u
2
xv
в заданной точке (1,1,1, 1)отличен от нуля. Следовательно, в некоторой
окрестности точки (1,1)можно определить бесконечно дифференцируе-
мые функции u = u(x, y), v = v(x, y), обра щающие систему у равнений в
тождества и удовлетворяющие равенствам u(1, 1)= 1, v(1,1)= 1.
Чтобы найти диф ференциалы функций u(x, y)и v(x, y), продиффе-
ренцируем тождества (4):
20