Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

                                                  1                    1
                 uœx = 1,     uœy = 1,    vxœ = º     ,       vœy = − º    ,
                                                2 x−y                2 x−y

дифференцируя композицию z(u(x, y), v(x, y)) по переменным x и y, най-
дем частные производные первого порядка:
                                                                 zvœ
                            zœx = zuœ ċ uœx + zvœ ċ vxœ = zuœ + º    ,
                                                               2 x−y
                                                                 zœ
                            zœy = zuœ ċ uœy + zvœ ċ vœy = zuœ − º v .
                                                               2 x−y

   Для вычисления производных второго порядка полученные равенства
дифференцируем еще раз с учетом того, что zuœ и zvœ также являются слож-
ными функциями переменных x и y. Заметим, что по теореме об обрат-
ном отображении функции x(u, v), y(u, v) дважды непрерывно дифферен-
цируемы. Следовательно, композиция z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) имеет
непрерывные, а потому равные, смешанные производные zuv    œœ и zœœ . Тогда
                                                                 vu


                                      (zvu              ċ vœy) + »
                                  1                                   1
 zœœxy = zuu
          œœ
             ċ uœy + zuv
                      œœ
                         ċ vœy + º      œœ
                                           ċ uœy + zvv
                                                    œœ
                                                                            zvœ =
                                2 x−y                            4 (x − y)3
                                                                  1               1
                                                   = zuu
                                                       œœ
                                                           −           zvv
                                                                        œœ
                                                                           + »          zvœ .
                                                              4(x − y)      4 (x − y) 3


   Аналогично найдем

                                      (zvu              ċ vœy) − »
                                  1                                   1
 zœœyy = zuu
          œœ
             ċ uœy + zuv
                      œœ
                         ċ vœy − º       œœ
                                            ċ uœy + zvv
                                                     œœ
                                                                              zvœ =
                                2 x−y                            4 (x − y)  3

                                                  1               1                 1
                                    = zuu
                                        œœ
                                            −º         zuv
                                                        œœ
                                                           +           zvv
                                                                        œœ
                                                                           − »            zvœ .
                                                 x−y          4(x − y)        4 (x − y) 3


   Подставим найденные выражения для производных в исходное выра-
жение F. Замечая, что x − y = v2 , после приведения подобных слагаемых
получим:
                             F = zvv
                                   œœ
                                      − 2vzuv
                                           œœ
                                              .
   Ответ.      F = zvv
                    œœ − 2vzœœ .
                            uv

   Пример 11.       Преобразовать уравнение

                                 zœx + (y − x)zœy = z − x − 1,

приняв u = x, v = x−2y+z за новые независимые переменные, а w = x− y+z
за новую функцию.

                                                22

Страницы