Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

u
x
= 1, u
y
= 1, v
x
=
1
2
º
x − y
, v
y
= −
1
2
º
x − y
,
дифференцируя композицию z(u(x, y),v(x, y))по пер еменным x и y, най-
дем частные производные первого порядка:
z
x
= z
u
ċ u
x
+ z
v
ċ v
x
= z
u
+
z
v
2
º
x − y
,
z
y
= z
u
ċ u
y
+ z
v
ċ v
y
= z
u
−
z
v
2
º
x − y
.
Для вычисления производных второго порядка полученные равенства
дифференцируем еще раз с учетом того, что z
u
и z
v
также являются слож-
ными функциями пер еменных x и y. Заметим, что по теореме о б обрат-
ном отображении фу нкции x(u,v), y(u,v)дважды непрерывно дифферен-
цируемы. Следовательно, композиция z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v))имеет
непрерывные, а потому равные, смешанные производные z

uv
и z

vu
. Тогда
z

xy
= z

uu
ċ u
y
+ z

uv
ċ v
y
+
1
2
º
x − y
(z

vu
ċ u
y
+ z

vv
ċ v
y
)+
1
4
»
( x − y)
3
z
v
=
= z

uu
−
1
4( x − y)
z

vv
+
1
4
»
( x − y)
3
z
v
.
Аналогично найдем
z

yy
= z

uu
ċ u
y
+ z

uv
ċ v
y
−
1
2
º
x − y
(z

vu
ċ u
y
+ z

vv
ċ v
y
)−
1
4
»
( x − y)
3
z
v
=
= z

uu
−
1
º
x − y
z

uv
+
1
4( x − y)
z

vv
−
1
4
»
( x − y)
3
z
v
.
Подставим найденные выражения для производных в ис ходное выра-
жение F. Замечая, что x − y = v
2
, после приведения подобных слагаемых
получим:
F = z

vv
− 2vz

uv
.
Ответ. F = z

vv
− 2vz

uv
.
Пример 11. Преобразовать уравнение
z
x
+ (y − x)z
y
= z − x − 1,
приняв u = x, v = x−2y+z за новые нез ависимые переменные, а w = x− y+z
за новую функцию.
22
                                                  1                    1
                 uœx = 1,     uœy = 1,    vxœ = º     ,       vœy = − º    ,
                                                2 x−y                2 x−y

дифференцируя композицию z(u(x, y), v(x, y)) по переменным x и y, най-
дем частные производные первого порядка:
                                                                 zvœ
                            zœx = zuœ ċ uœx + zvœ ċ vxœ = zuœ + º    ,
                                                               2 x−y
                                                                 zœ
                            zœy = zuœ ċ uœy + zvœ ċ vœy = zuœ − º v .
                                                               2 x−y

   Для вычисления производных второго порядка полученные равенства
дифференцируем еще раз с учетом того, что zuœ и zvœ также являются слож-
ными функциями переменных x и y. Заметим, что по теореме об обрат-
ном отображении функции x(u, v), y(u, v) дважды непрерывно дифферен-
цируемы. Следовательно, композиция z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) имеет
непрерывные, а потому равные, смешанные производные zuv    œœ и zœœ . Тогда
                                                                 vu


                                      (zvu              ċ vœy) + »
                                  1                                   1
 zœœxy = zuu
          œœ
             ċ uœy + zuv
                      œœ
                         ċ vœy + º      œœ
                                           ċ uœy + zvv
                                                    œœ
                                                                            zvœ =
                                2 x−y                            4 (x − y)3
                                                                  1               1
                                                   = zuu
                                                       œœ
                                                           −           zvv
                                                                        œœ
                                                                           + »          zvœ .
                                                              4(x − y)      4 (x − y) 3


   Аналогично найдем

                                      (zvu              ċ vœy) − »
                                  1                                   1
 zœœyy = zuu
          œœ
             ċ uœy + zuv
                      œœ
                         ċ vœy − º       œœ
                                            ċ uœy + zvv
                                                     œœ
                                                                              zvœ =
                                2 x−y                            4 (x − y)  3

                                                  1               1                 1
                                    = zuu
                                        œœ
                                            −º         zuv
                                                        œœ
                                                           +           zvv
                                                                        œœ
                                                                           − »            zvœ .
                                                 x−y          4(x − y)        4 (x − y) 3


   Подставим найденные выражения для производных в исходное выра-
жение F. Замечая, что x − y = v2 , после приведения подобных слагаемых
получим:
                             F = zvv
                                   œœ
                                      − 2vzuv
                                           œœ
                                              .
   Ответ.      F = zvv
                    œœ − 2vzœœ .
                            uv

   Пример 11.       Преобразовать уравнение

                                 zœx + (y − x)zœy = z − x − 1,

приняв u = x, v = x−2y+z за новые независимые переменные, а w = x− y+z
за новую функцию.

                                                22

Страницы