Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 22 стр.

UptoLike

u
x
= 1, u
y
= 1, v
x
=
1
2
º
x y
, v
y
=
1
2
º
x y
,
дифференцируя композицию z(u(x, y),v(x, y))по пер еменным x и y, най-
дем частные производные первого порядка:
z
x
= z
u
ċ u
x
+ z
v
ċ v
x
= z
u
+
z
v
2
º
x y
,
z
y
= z
u
ċ u
y
+ z
v
ċ v
y
= z
u
z
v
2
º
x y
.
Для вычисления производных второго порядка полученные равенства
дифференцируем еще раз с учетом того, что z
u
и z
v
также являются слож-
ными функциями пер еменных x и y. Заметим, что по теореме о б обрат-
ном отображении фу нкции x(u,v), y(u,v)дважды непрерывно дифферен-
цируемы. Следовательно, композиция z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v))имеет
непрерывные, а потому равные, смешанные производные z

uv
и z

vu
. Тогда
z

xy
= z

uu
ċ u
y
+ z

uv
ċ v
y
+
1
2
º
x y
(z

vu
ċ u
y
+ z

vv
ċ v
y
)+
1
4
»
( x y)
3
z
v
=
= z

uu
1
4( x y)
z

vv
+
1
4
»
( x y)
3
z
v
.
Аналогично найдем
z

yy
= z

uu
ċ u
y
+ z

uv
ċ v
y
1
2
º
x y
(z

vu
ċ u
y
+ z

vv
ċ v
y
)
1
4
»
( x y)
3
z
v
=
= z

uu
1
º
x y
z

uv
+
1
4( x y)
z

vv
1
4
»
( x y)
3
z
v
.
Подставим найденные выражения для производных в ис ходное выра-
жение F. Замечая, что x y = v
2
, после приведения подобных слагаемых
получим:
F = z

vv
2vz

uv
.
Ответ. F = z

vv
2vz

uv
.
Пример 11. Преобразовать уравнение
z
x
+ (y x)z
y
= z x 1,
приняв u = x, v = x2y+z за новые нез ависимые переменные, а w = x y+z
за новую функцию.
22