Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Выразим частные производные z
x
и z
y
через частные про-
изводные функции w по переменным u и v. Для этого дифференцируем ра-
венство w = x−y+z по переменным x и y, считая, что w = w(u(x, y),v(x, y));
w
u
ċ u
x
+ w
v
ċ v
x
= 1 + z
x
,
w
u
ċ u
y
+ w
v
ċ v
y
= −1 + z
y
.
Эти равенства с учетом того, что
u
x
= 1, v
x
= 1 + z
x
, u
y
= 0, v
y
= z
y
− 2,
перепишем в виде:
w
u
+ w
v
(1 + z
x
)= 1 + z
x
,
w
v
(z
y
− 2)= −1 + z
y
.
Отсюда найдем
z
x
=
w
u
+ w
v
− 1
1 − w
v
и z
y
=
1 − 2w
v
1 − w
v
.
Подста вив эти выражения в исходное уравнение, после упрощения по-
лучим
w
u
+ (z − 2y+ x)w
v
= z − y.
Осталось лишь заменить старые переменные x и y, а т акже старую фун-
кцию z на их выражения через u, v и w. Для этого достаточно разрешить
систему уравнений
¢
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¤
u = x,
v = x − 2y+ z,
w = x − y + z,
относительно x, y, z. В данном случае, одна ко, в этом нет необходимости,
так как
z − 2y + x = v, z − y = w − u.
Ответ. w
u
+ vw
v
= w − u.
23
   Решение. Выразим частные производные zœx и zœy через частные про-
изводные функции w по переменным u и v. Для этого дифференцируем ра-
венство w = x−y+z по переменным x и y, считая, что w = w(u(x, y), v(x, y));

                           wuœ ċ uœx + wvœ ċ vxœ = 1 + zœx ,
                           wuœ ċ uœy + wvœ ċ vœy = −1 + zœy.

   Эти равенства с учетом того, что

                uœx = 1,   vxœ = 1 + zœx ,       uœy = 0,     vœy = zœy − 2,

перепишем в виде:

                               wuœ + wvœ (1 + zœx ) = 1 + zœx ,
                                wvœ (zœy − 2) = −1 + zœy.

   Отсюда найдем
                                wuœ + wvœ − 1                1 − 2wvœ
                       zœx =                     и   zœy =            .
                                   1 − wvœ                    1 − wvœ

   Подставив эти выражения в исходное уравнение, после упрощения по-
лучим
                     wuœ + (z − 2y + x)wvœ = z − y.
   Осталось лишь заменить старые переменные x и y, а также старую фун-
кцию z на их выражения через u, v и w. Для этого достаточно разрешить
систему уравнений
                                   ¢̈ u = x,
                                   ¨
                                   ¨
                                   ¨
                                   ¦ v = x − 2y + z,
                                   ¨
                                   ¨
                                   ¨ w = x − y + z,
                                   ¤̈
относительно x, y, z. В данном случае, однако, в этом нет необходимости,
так как
                       z − 2y + x = v, z − y = w − u.
   Ответ. wuœ + vwvœ = w − u.




                                                23

Страницы