Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 23 стр.

UptoLike

Решение. Выразим частные производные z
x
и z
y
через частные про-
изводные функции w по переменным u и v. Для этого дифференцируем ра-
венство w = xy+z по переменным x и y, считая, что w = w(u(x, y),v(x, y));
w
u
ċ u
x
+ w
v
ċ v
x
= 1 + z
x
,
w
u
ċ u
y
+ w
v
ċ v
y
= 1 + z
y
.
Эти равенства с учетом того, что
u
x
= 1, v
x
= 1 + z
x
, u
y
= 0, v
y
= z
y
2,
перепишем в виде:
w
u
+ w
v
(1 + z
x
)= 1 + z
x
,
w
v
(z
y
2)= 1 + z
y
.
Отсюда найдем
z
x
=
w
u
+ w
v
1
1 w
v
и z
y
=
1 2w
v
1 w
v
.
Подста вив эти выражения в исходное уравнение, после упрощения по-
лучим
w
u
+ (z 2y+ x)w
v
= z y.
Осталось лишь заменить старые переменные x и y, а т акже старую фун-
кцию z на их выражения через u, v и w. Для этого достаточно разрешить
систему уравнений
¢
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¤
u = x,
v = x 2y+ z,
w = x y + z,
относительно x, y, z. В данном случае, одна ко, в этом нет необходимости,
так как
z 2y + x = v, z y = w u.
Ответ. w
u
+ vw
v
= w u.
23