Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

∆
1
= b
11
A 0, ∆
2
= W
b
11
b
12
b
21
b
22
WA 0, . . . ,
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
b
11
. . . b
1n
b
n1
. . . b
nn
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A 0.
В частности, из критерия Сильвестра следует, что для дважды диф-
ференцируемой функции двух переменных f(x, y)такой, что
∂f(x
0
, y
0
)
∂x
=
=
∂f(x
0
, y
0
)
∂y
= 0,
• если
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂y∂y
−
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂y
2
< 0, то локального экстремума
в (x
0
, y
0
)нет;
• если
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂y∂y
−
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂y
2
A 0, то локальный экст ремум
в (x
0
, y
0
)имеется, причем
º
при
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
A 0 — это лока льный минимум,
º
при
∂
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
< 0 — это лока льный максимум.
Пример 12. Исследовать функцию f(x, y, z)= 9x
2
+ 2xy + 8 xz + 9y
2
−
− 8yz + 9z
2
+ 24x + 56y − 36 z − 3 на локальный экстремум.
Решение. Составляем сис тему ур авнений для нахождения критиче-
ских точек.
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
∂f
∂x
= 18x + 2y + 8z + 24 = 0,
∂f
∂y
= 2x + 18y − 8z + 56 = 0,
∂f
∂z
= 8x − 8y + 18z − 36 = 0.
Система имеет единственное решение x
0
= −2, y
0
= −2, z
0
= 2. Исследу-
ем на экстремум полученную критическу ю точку.
∂
2
f
∂x
2
= 18,
∂
2
f
∂x∂y
= 2,
∂
2
f
∂x∂z
= 8,
∂
2
f
∂y
2
= 18,
∂
2
f
∂y∂z
= −8,
∂
2
f
∂z
2
= 18;
d
2
f(x
0
, y
0
, z
0
)= 18 dx
2
+ 4 dx dy + 16 dx dz + 18 dy
2
− 16 dydz + 18 dz
2
.
Для определения знака второго дифференциала воспользуемся мето-
дом Лагранжа.
25
                                                                      RRR b . . . b RRR
                                                                        RRR 11           1n R
                                                                                              R
                                                     W A 0, . . . , RRR    RRRR A 0.
                                           b11   b12
                 ∆1 = b11 A 0,    ∆2 = W
                                                                          RRR                 R
                                                                            RRbn1 . . . bnnRRRR
                                           b21   b22

      В частности, из критерия Сильвестра следует, что для дважды диф-
                                                                                              ∂ f(x0 , y0 )
ференцируемой функции двух переменных f(x, y) такой, что                                                    =
                                                                                                  ∂x
    ∂ f(x0 , y0 )
=                 = 0,
        ∂y

             ∂2 f(x0 , y0 ) ∂2 f(x0 , y0 )    ∂2 f(x0 , y0 )
                                                              2
      • если                               −‹                 < 0, то локального экстремума
                ∂x∂x           ∂y∂y              ∂x∂y
         в (x0 , y0 ) нет;
             ∂2 f(x0 , y0 ) ∂2 f(x0 , y0 )    ∂2 f(x0 , y0 )
                                                               2
      • если                               −‹                 A 0, то локальный экстремум
                ∂x∂x           ∂y∂y              ∂x∂y
         в (x0 , y0 ) имеется, причем
             º       ∂2 f(x0 , y0 )
                 при                A 0 — это локальный минимум,
                        ∂x∂x
             º       ∂2 f(x0 , y0 )
                 при                < 0 — это локальный максимум.
                        ∂x∂x

   Пример 12. Исследовать функцию f(x, y, z) = 9x2 + 2xy + 8xz + 9y2 −
− 8yz + 9z2 + 24x + 56y − 36z − 3 на локальный экстремум.
   Решение. Составляем систему уравнений для нахождения критиче-
ских точек.
                                 ¢̈ ∂ f
                                 ¨
                                 ¨
                                 ¨      = 18x + 2y + 8z + 24 = 0,
                                 ¨
                                 ¨
                                 ¨
                                    ∂x
                                 ¨ ∂f
                                 ¦ = 2x + 18y − 8z + 56 = 0,
                                 ¨
                                 ¨
                                 ¨
                                    ∂y
                                 ¨
                                 ¨
                                 ¨
                                 ¨ = 8x − 8y + 18z − 36 = 0.
                                    ∂f
                                 ¤̈ ∂z
   Система имеет единственное решение x0 = −2, y0 = −2, z0 = 2. Исследу-
ем на экстремум полученную критическую точку.
        ∂2 f              ∂2 f         ∂2 f              ∂2 f            ∂2 f              ∂2 f
             = 18,             = 2,         = 8,              = 18,           = −8,             = 18;
        ∂x2              ∂x∂y         ∂x∂z               ∂y2            ∂y∂z               ∂z2
     d2 f(x0 , y0 , z0 ) = 18 dx2 + 4 dx dy + 16 dx dz + 18 dy2 − 16 dydz + 18 dz2 .

   Для определения знака второго дифференциала воспользуемся мето-
дом Лагранжа.

                                                    25

Страницы