Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 25 стр.

UptoLike

1
= b
11
A 0,
2
= W
b
11
b
12
b
21
b
22
WA 0, . . . ,
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
b
11
. . . b
1n
b
n1
. . . b
nn
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A 0.
В частности, из критерия Сильвестра следует, что для дважды диф-
ференцируемой функции двух переменных f(x, y)такой, что
f(x
0
, y
0
)
∂x
=
=
f(x
0
, y
0
)
y
= 0,
если
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
2
f(x
0
, y
0
)
yy
2
f(x
0
, y
0
)
∂xy
2
< 0, то локального экстремума
в (x
0
, y
0
)нет;
если
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
2
f(x
0
, y
0
)
yy
2
f(x
0
, y
0
)
∂xy
2
A 0, то локальный экст ремум
в (x
0
, y
0
)имеется, причем
º
при
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
A 0 это лока льный минимум,
º
при
2
f(x
0
, y
0
)
∂x∂x
< 0 это лока льный максимум.
Пример 12. Исследовать функцию f(x, y, z)= 9x
2
+ 2xy + 8 xz + 9y
2
8yz + 9z
2
+ 24x + 56y 36 z 3 на локальный экстремум.
Решение. Составляем сис тему ур авнений для нахождения критиче-
ских точек.
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
f
∂x
= 18x + 2y + 8z + 24 = 0,
f
y
= 2x + 18y 8z + 56 = 0,
f
∂z
= 8x 8y + 18z 36 = 0.
Система имеет единственное решение x
0
= 2, y
0
= 2, z
0
= 2. Исследу-
ем на экстремум полученную критическу ю точку.
2
f
∂x
2
= 18,
2
f
∂xy
= 2,
2
f
∂x∂z
= 8,
2
f
y
2
= 18,
2
f
y∂z
= 8,
2
f
∂z
2
= 18;
d
2
f(x
0
, y
0
, z
0
)= 18 dx
2
+ 4 dx dy + 16 dx dz + 18 dy
2
16 dydz + 18 dz
2
.
Для определения знака второго дифференциала воспользуемся мето-
дом Лагранжа.
25