Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

d
2
f(x
0
, y
0
, z
0
)= 18 dx +
1
9
dy +
4
9
dz
2
+
160
9
dy −
1
2
dz
2
+ 10dz
2
.
Из полученного представления следует, что при всех dx, dy, dz, не об-
ращающихся одновременно в нуль, d
2
f(x
0
, y
0
, z
0
) A 0, откуда получаем,
что в точке (−2, −2, 2)у функции f(x, y,z)имеется локальный минимум.
Подставляя x
0
= −2, y
0
= −2, z
0
= 2, находим, что в этой точке значение
функции f(−2,−2, 2)= −119.
Ответ. В точке (−2,−2,2)функцией достиг ается локальный минимум,
f(−2, −2,2)= −119.
Задачей на условный экстремум называют задачу нахождения точки ло-
кального экстремум а функции f(x
1
, . . . , x
n
)при выполнении условий
¢
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¤
g
1
(x
1
, . . . , x
n
) = 0,
. . . . . . . . . . . . .
g
m
(x
1
, . . . , x
n
) = 0,
(7)
где m < n — уравнений связи описывают (n − m)-мерную «поверхность»,
на которой должна лежать точка экстрем ума.
Точнее, точка x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
)называется точкой у словного локального
максимума (минимума) функции f(x)при условии (7), если найде тся δ A 0
такое, что для всех точек x Sx − x
0
S< δ и удовлетворяющих уравнениям
(7), выполняется неравенство f(x)D f(x
0
)( f(x)E f(x
0
)).
Та ким образом, точка условного экстремума функции f( x)при выпол-
нении условий (7) — это точка экстремума сужения функции f(x)на мно-
жес тво решений (7).
Для нахождения точек условного экс тремума мож но, разрешив урав-
нения связи (7), выразить одни переменные через оста льные и, подставив
найденные выражения в f(x), исследовать на обычный локальный экстре-
мум функцию меньшего числа переменных.
Найти точки условного экстремума, не решая ур авнения (7), позволяет
метод множителей Лагранжа.
Пусть функции f(x)и g
1
(x), . . . , g
m
(x)непрерывно дифференцируемы
в окре стности точки x
0
, и ранг матрицы Якоби
∂g
1
( x
0
)
∂x
1
. . .
∂g
1
( x
0
)
∂x
n
∂g
m
( x
0
)
∂x
1
. . .
∂g
m
( x
0
)
∂x
n
26
                                                2                2
      d2 f(x0 , y0 , z0 ) = 18 Šdx + dy + dz +         Šdy − dz + 10dz2 .
                                  1       4         160      1
                                  9       9          9       2

   Из полученного представления следует, что при всех dx, dy, dz, не об-
ращающихся одновременно в нуль, d2 f(x0 , y0 , z0 ) A 0, откуда получаем,
что в точке (−2, −2, 2) у функции f(x, y, z) имеется локальный минимум.
Подставляя x0 = −2, y0 = −2, z0 = 2, находим, что в этой точке значение
функции f(−2, −2, 2) = −119.
   Ответ. В точке (−2, −2, 2) функцией достигается локальный минимум,
f(−2, −2, 2) = −119.
   Задачей на условный экстремум называют задачу нахождения точки ло-
кального экстремума функции f(x1 , . . . , xn) при выполнении условий
                            ¢̈ g1 (x1 , . . . , xn) = 0,
                            ¨
                            ¨
                            ¦ . . . . . . . . . . . . .                       (7)
                            ¨
                            ¨ gm(x1 , . . . , xn) = 0,
                            ¤̈
где m < n — уравнений связи описывают (n − m)-мерную «поверхность»,
на которой должна лежать точка экстремума.
    Точнее, точка x0 = (x10 , . . . , xn0 ) называется точкой условного локального
максимума (минимума) функции f(x) при условии (7), если найдется δ A 0
такое, что для всех точек x  Sx − x0 S < δ и удовлетворяющих уравнениям
(7), выполняется неравенство f(x) D f(x0 ) ( f(x) E f(x0 )).
    Таким образом, точка условного экстремума функции f(x) при выпол-
нении условий (7) — это точка экстремума сужения функции f(x) на мно-
жество решений (7).
    Для нахождения точек условного экстремума можно, разрешив урав-
нения связи (7), выразить одни переменные через остальные и, подставив
найденные выражения в f(x), исследовать на обычный локальный экстре-
мум функцию меньшего числа переменных.
    Найти точки условного экстремума, не решая уравнения (7), позволяет
метод множителей Лагранжа.
    Пусть функции f(x) и g1 (x), . . . , gm(x) непрерывно дифференцируемы
в окрестности точки x0 , и ранг матрицы Якоби

                            ’ ∂g1 (x ) . . . ∂g1 (x ) “
                                    0              0

                            – ∂x1              ∂xn —
                            –                    —
                            –                          —
                            – ∂gm(x0 )       ∂gm (x0 ) —
                                        
                            ” ∂x1      ...
                                               ∂xn •

                                         26

Страницы