Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 26 стр.

UptoLike

d
2
f(x
0
, y
0
, z
0
)= 18 dx +
1
9
dy +
4
9
dz
2
+
160
9
dy
1
2
dz
2
+ 10dz
2
.
Из полученного представления следует, что при всех dx, dy, dz, не об-
ращающихся одновременно в нуль, d
2
f(x
0
, y
0
, z
0
) A 0, откуда получаем,
что в точке (2, 2, 2)у функции f(x, y,z)имеется локальный минимум.
Подставляя x
0
= 2, y
0
= 2, z
0
= 2, находим, что в этой точке значение
функции f(2,2, 2)= 119.
Ответ. В точке (2,2,2)функцией достиг ается локальный минимум,
f(2, 2,2)= 119.
Задачей на условный экстремум называют задачу нахождения точки ло-
кального экстремум а функции f(x
1
, . . . , x
n
)при выполнении условий
¢
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¤
g
1
(x
1
, . . . , x
n
) = 0,
. . . . . . . . . . . . .
g
m
(x
1
, . . . , x
n
) = 0,
(7)
где m < n уравнений связи описывают (n m)-мерную «поверхность»,
на которой должна лежать точка экстрем ума.
Точнее, точка x
0
= (x
0
1
, . . . , x
0
n
)называется точкой у словного локального
максимума (минимума) функции f(x)при условии (7), если найде тся δ A 0
такое, что для всех точек x Sx x
0
S< δ и удовлетворяющих уравнениям
(7), выполняется неравенство f(x)D f(x
0
)( f(x)E f(x
0
)).
Та ким образом, точка условного экстремума функции f( x)при выпол-
нении условий (7) это точка экстремума сужения функции f(x)на мно-
жес тво решений (7).
Для нахождения точек условного экс тремума мож но, разрешив урав-
нения связи (7), выразить одни переменные через оста льные и, подставив
найденные выражения в f(x), исследовать на обычный локальный экстре-
мум функцию меньшего числа переменных.
Найти точки условного экстремума, не решая ур авнения (7), позволяет
метод множителей Лагранжа.
Пусть функции f(x)и g
1
(x), . . . , g
m
(x)непрерывно дифференцируемы
в окре стности точки x
0
, и ранг матрицы Якоби
g
1
( x
0
)
∂x
1
. . .
g
1
( x
0
)
∂x
n
g
m
( x
0
)
∂x
1
. . .
g
m
( x
0
)
∂x
n
26