Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

d
2
L(x, y, λ)= λ(−8 dx
2
+ 8 dx dy + 6 dy
2
), d
2
L(x
1
, y
1
, λ
1
)=
25
27
dx
2
A 0,
что означает, что первая точка — точка минимума. Значение функции в
ней f
23
8
,
7
4
=
11
8
. Аналогично для точки x
2
= −2, y
2
= −1, λ
2
= −
1
2
также
dy =
7
9
dx и d
2
L(x
2
, y
2
, λ
2
)= −
25
27
dx
2
< 0, f(−2, −1)= −8 — условный мак-
симум. То, что значение функции в точке максимума меньше, чем в точке
минимума, удивлять не должно, эти точки лежат на разных ветвях гипер-
болы.
Ответ. f(−2, −1)= −8 — условный максимум, f
23
8
,
7
4
=
11
8
— услов-
ный минимум.
Пример 14. Найти радиус основания и высоту цилиндра, который
имеет минимальную площадь полной поверхности при заданном объеме
16
º
3
9
π см
3
.
Решение. Пусть r — радиус цилиндра, h — его высота. Тогда объем
цилиндр а V = πr
2
h, а площадь полной поверхности S = 2πr
2
+ 2πrh. Нужно
найти r и h, при которых 2πr
2
+ 2πrh достигает минимума в области, где
r A 0, h A 0 при условии πr
2
h =
16
º
3
9
π. Составляем функцию Лагранжа:
L(r, h, λ)= 2πr
2
+ 2 πrh + λ πr
2
h −
16
º
3
9
π
и выписываем нео бходимые условия локального условного экстремума:
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
∂L
∂r
= 4πr + 2πh + 2λπrh = 0,
∂L
∂h
= 2πr + λπr
2
= 0,
∂L
∂λ
= πr
2
h −
16
º
3
9
π = 0.
Решая систему, находим точку r
0
=
2
º
3
3
, h
0
=
4
º
3
3
, λ
0
= −
º
3.
Для проверки достаточных условий находим знак второго диф фер ен-
циала d
2
L(r
0
, h
0
, λ
0
)с учетом того, что dr и dh зависимы. Дифференцируя
ура внение связи πr
2
h −
16
º
3
9
π = 0, получим, что 2rh dr + r
2
dh = 0, откуда
при r =
2
º
3
3
, h =
4
º
3
3
следует dh = −4 dr. Таким образом,
28
 d2 L(x, y, λ) = λ(−8 dx2 + 8 dx dy + 6 dy2 ),       d2 L(x1 , y1 , λ1 ) =
                                                                             25 2
                                                                                dx A 0,
                                                                             27

что означает, что первая точка — точка минимума. Значение функции в
ней f Š ,  = . Аналогично для точки x2 = −2, y2 = −1, λ2 = − также
       23 7     11                                           1
      8 4    8                                                  2
dy = dx и d L(x2 , y2 , λ2 ) = − dx < 0, f(−2, −1) = −8 — условный мак-
    7      2                    25 2
    9                           27
симум. То, что значение функции в точке максимума меньше, чем в точке
минимума, удивлять не должно, эти точки лежат на разных ветвях гипер-
болы.
   Ответ. f(−2, −1) = −8 — условный максимум, f Š ,  = — услов-
                                                   23 7    11
                                                   8 4     8
ный минимум.
   Пример 14. Найти радиус основания и высоту цилиндра, который
имеет
 º    минимальную площадь полной поверхности при заданном объеме
16 3
     π см3 .
  9
    Решение. Пусть r — радиус цилиндра, h — его высота. Тогда объем
цилиндра V = πr2 h, а площадь полной поверхности S = 2πr2 +2πrh. Нужно
найти r и h, при которых 2πr2 + º2πrh достигает минимума в области, где
r A 0, h A 0 при условии πr2 h = 169 3 π. Составляем функцию Лагранжа:
                                                       º
                 L(r, h, λ) = 2πr + 2πrh + λ ‹πr h −
                                 2               2   16 3
                                                          π
                                                       9

и выписываем необходимые условия локального условного экстремума:
                        ¢̈ ∂L
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                              = 4πr + 2πh + 2λπrh = 0,
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                           ∂r
                        ¨ ∂L = 2πr + λπr2 = 0,
                        ¦ ∂h
                        ¨
                        ¨
                        ¨                 º
                        ¨
                        ¨
                        ¨
                        ¨ = πr2 h −
                           ∂L          16  3
                        ¤̈ ∂λ
                                             π = 0.
                                         9
                                      º          º
                                     2 3        4 3         º
   Решая систему, находим точку r0 =     , h0 =     , λ0 = − 3.
                                      3          3
   Для проверки достаточных условий находим знак второго дифферен-
циала d2 L(r0 , h0 , λ0 ) с учетом
                                º того, что dr и dh зависимы. Дифференцируя
                          16 3
уравнение связи πr2 h −        π = 0, получим, что 2rh dr + r2 dh = 0, откуда
         º       º          9
        2 3     4 3
при r =     ,h=     следует dh = −4 dr. Таким образом,
         3       3


                                       28

Страницы