Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 28 стр.

UptoLike

d
2
L(x, y, λ)= λ(8 dx
2
+ 8 dx dy + 6 dy
2
), d
2
L(x
1
, y
1
, λ
1
)=
25
27
dx
2
A 0,
что означает, что первая точка точка минимума. Значение функции в
ней f
23
8
,
7
4
=
11
8
. Аналогично для точки x
2
= 2, y
2
= 1, λ
2
=
1
2
также
dy =
7
9
dx и d
2
L(x
2
, y
2
, λ
2
)=
25
27
dx
2
< 0, f(2, 1)= 8 условный мак-
симум. То, что значение функции в точке максимума меньше, чем в точке
минимума, удивлять не должно, эти точки лежат на разных ветвях гипер-
болы.
Ответ. f(2, 1)= 8 условный максимум, f
23
8
,
7
4
=
11
8
услов-
ный минимум.
Пример 14. Найти радиус основания и высоту цилиндра, который
имеет минимальную площадь полной поверхности при заданном объеме
16
º
3
9
π см
3
.
Решение. Пусть r радиус цилиндра, h его высота. Тогда объем
цилиндр а V = πr
2
h, а площадь полной поверхности S = 2πr
2
+ 2πrh. Нужно
найти r и h, при которых 2πr
2
+ 2πrh достигает минимума в области, где
r A 0, h A 0 при условии πr
2
h =
16
º
3
9
π. Составляем функцию Лагранжа:
L(r, h, λ)= 2πr
2
+ 2 πrh + λ πr
2
h
16
º
3
9
π
и выписываем нео бходимые условия локального условного экстремума:
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
∂L
∂r
= 4πr + 2πh + 2λπrh = 0,
∂L
∂h
= 2πr + λπr
2
= 0,
∂L
λ
= πr
2
h
16
º
3
9
π = 0.
Решая систему, находим точку r
0
=
2
º
3
3
, h
0
=
4
º
3
3
, λ
0
=
º
3.
Для проверки достаточных условий находим знак второго диф фер ен-
циала d
2
L(r
0
, h
0
, λ
0
)с учетом того, что dr и dh зависимы. Дифференцируя
ура внение связи πr
2
h
16
º
3
9
π = 0, получим, что 2rh dr + r
2
dh = 0, откуда
при r =
2
º
3
3
, h =
4
º
3
3
следует dh = 4 dr. Таким образом,
28