Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

¢
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¤
∂u
∂x
= −14x + 6y − 26 = 0
∂u
∂y
= 6x + 2y+ 2 = 0,
откуда получим x
0
= −1, y
0
= 2. Точка (−1, 2)> QABC, значение функции в
ней u(−1, 2)= 13. Впрочем, так как ∆ =
∂
2
u
∂x
2
∂
2
u
∂y
2
−
∂
2
u
∂x∂y
2
= −64 < 0, экстре-
мума в критической точке нет, и ее можно не учитывать.
Выбирая из найденных значений функции наибольшее и наименьшее,
полу чим: наименьшее значение функции −98 достигается в точке (4, 4),
наибольшее значение
1225
61
достигается в точке −
148
61
, −
1
61
.
Ответ. −98,
1225
61
.
6. Геометрические приложения теории неявных функций.
Кривые и поверхности в трехмерном пространстве
6.1. Простая параметрически заданная кривая
Определение. Множество Γ точек в R
3
, зада нное как образ при
непрерывном отображении φ числового промежутка T, называется про-
стой параметрически заданной кривой, если разным значениям t > T со-
ответствуют разные точки множества Γ.
Если в пространс тве R
3
введены декартовы прямоугольные коорди-
наты (x, y, z), то положение точек кривой определяется соотношениями:
Рис. 2
x = x (t), y = y(t), z = z (t), t > T,
где x (t), y(t), z (t)— координатные функции отоб-
ражения φ непрерывны на промежутке T. Указанные
соотношения называют параметрическими уравнени-
ями кривой Γ, а переменную t её параметром.
Ограничимся рассмотрением кривых, для которых
функции x (t ), y(t), z ( t )непрерывно дифференциру-
емы. Пусть
Ñ
r (t)= (x(t), y(t), z (t))— радиус-вектор
точки такой кривой. Тогда вектор
Ñ
r
(t)=
d
Ñ
r
dt
= (x
(t), y
(t), z
(t))
30
                                  ¢̈ ∂u
                                  ¨
                                  ¨
                                  ¨ ∂x = −14x + 6y − 26 = 0
                                  ¦ ∂u
                                  ¨
                                  ¨
                                  ¨ ∂y = 6x + 2y + 2 = 0,
                                  ¤̈
откуда получим x0 = −1, y0 = 2. Точка (−1, 2) > QABC, значение функции в
                                                                    2
ней u(−1, 2) = 13. Впрочем, так как ∆ = 2 2 − ‹         = −64 < 0, экстре-
                                       ∂2 u ∂2 u  ∂2 u
                                       ∂x ∂y     ∂x∂y
мума в критической точке нет, и ее можно не учитывать.
   Выбирая из найденных значений функции наибольшее и наименьшее,
получим: наименьшее значение функции −98 достигается в точке (4, 4),
                         достигается в точке Š− , − .
                    1225                       148  1
наибольшее значение
                             61                               61    61
                    1225
   Ответ.      −98,      .
                     61


6. Геометрические приложения теории неявных функций.
   Кривые и поверхности в трехмерном пространстве
6.1. Простая параметрически заданная кривая
   Определение. Множество Γ точек в R3 , заданное как образ при
непрерывном отображении φ числового промежутка T, называется про-
стой параметрически заданной кривой, если разным значениям t > T со-
ответствуют разные точки множества Γ.
   Если в пространстве R3 введены декартовы прямоугольные коорди-
наты (x, y, z), то положение точек кривой определяется соотношениями:

                                  x = x (t) ,    y = y(t) ,   z = z (t) ,   t > T,
                        где x (t) , y(t) , z (t) — координатные функции отоб-
                        ражения φ непрерывны на промежутке T. Указанные
                        соотношения называют параметрическими уравнени-
                        ями кривой Γ, а переменную t её параметром.
                           Ограничимся рассмотрением кривых, для которых
                        функции x (t), y(t), z (t) непрерывно дифференциру-
                        емы. Пусть Ñr (t) = (x(t), y(t) , z (t)) — радиус-вектор
      Рис. 2
                        точки такой кривой. Тогда вектор
                                  dÑr
                         rќ (t) = = (xœ (t), yœ (t) , zœ (t))
                                      dt

                                                30

Страницы