ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
называется вектором скорости кривой или ее касательным вектором
(рис. 2).
Определение. Точка с радиус-вектором
Ñ
r (t
0
)на кривой Γ называется
неособой точкой этой кривой, если
Ñ
r
(t
0
)x 0.
Определение. Касательной прямой (рис. 2) к кривой Γ в её неособой
точке
Ñ
r (t
0
)называется прямая, проходящая через эту точку в направле-
нии век тора
Ñ
r
(t
0
). Плоскость, проходящую перпендикулярно касатель-
ной прямой через точку касания, называют, нормальной плоскостью к кри-
вой в этой точке (рис. 2).
Из да нных определенийследует, что канонические уравнения касатель-
ной прямой имеют вид:
x − x (t
0
)
x
(t
0
)
=
y − y(t
0
)
y
(t
0
)
=
z − z (t
0
)
z
(t
0
)
,
а уравнение норма льной плоскости:
x
(t
0
)(x − x (t
0
))+ y
(t
0
)(y − y(t
0
))+ z
(t
0
)(z − z (t
0
))= 0.
Пример 16. Написать уравнение касательной прямой и нормальной
плоскости к кривой
Γ
¢
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¤
x(t)= ln(1 + 2 sh t),
y(t)= t − ln(ch 2t),
z(t)= 2 sh t + ch 2t
в точке M
0
, соответствующей t = 0.
Решение. Функции x(t), y(t ), z(t), задающие кривую Γ, дифферен-
цируемы в точке t = 0. Находим значения параметризующих кривую функ-
ций и их производных:
x(0)= 0, y(0)= 0, z(0)= 1;
x
(0)=
2 ch t
1 + 2 sh t
U
t=0
= 2, y
(0)= 1 −
2 sh 2t
ch 2t
U
t=0
= 1, z
(0)= (2 ch t + 2 sh 2t)U
t=0
= 2.
Та к как вектор
Ñ
r
(0)= (x
(0), y
(0), z
(0))не нулевой, то в точке M
0
(0,0,1)
кривая имеет касательную прямую с направляющим вектором (2,1,2). Ка-
нонические уравнения касательной имеют вид:
x
2
=
y
1
=
z − 1
2
,
а уравнение норма льной плоскости
31
называется вектором скорости кривой или ее касательным вектором (рис. 2). Определение. Точка с радиус-вектором Ñr (t0 ) на кривой Γ называется неособой точкой этой кривой, если rÑ (t0 ) x 0. Определение. Касательной прямой (рис. 2) к кривой Γ в её неособой точке Ñr (t0 ) называется прямая, проходящая через эту точку в направле- нии вектора rÑ (t0 ) . Плоскость, проходящую перпендикулярно касатель- ной прямой через точку касания, называют, нормальной плоскостью к кри- вой в этой точке (рис. 2). Из данных определений следует, что канонические уравнения касатель- ной прямой имеют вид: x − x (t0 ) y − y(t0 ) z − z (t0 ) , x (t0 ) y (t0 ) z (t0 ) = = а уравнение нормальной плоскости: x (t0 ) (x − x (t0 )) + y (t0 ) (y − y(t0 )) + z (t0 ) (z − z (t0 )) = 0. Пример 16. Написать уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой ¢̈ x(t) = ln(1 + 2 sh t), ¨ ¨ ¨ Γ ¦ y(t) = t − ln(ch 2t), ¨ ¨ ¨ z(t) = 2 sh t + ch 2t ¤̈ в точке M0 , соответствующей t = 0. Решение. Функции x(t), y(t), z(t), задающие кривую Γ, дифферен- цируемы в точке t = 0. Находим значения параметризующих кривую функ- ций и их производных: x(0) = 0, y(0) = 0, z(0) = 1; x (0) = U = 2, y (0) = 1 − U = 1, z (0) = (2 ch t + 2 sh 2t)U = 2. 2 ch t 2 sh 2t 1 + 2 sh t t=0 ch 2t t=0 t=0 Так как вектор rÑ (0) = (x (0), y (0), z (0)) не нулевой, то в точке M0 (0, 0, 1) кривая имеет касательную прямую с направляющим вектором (2, 1, 2). Ка- нонические уравнения касательной имеют вид: x y z−1 = = , 2 1 2 а уравнение нормальной плоскости 31
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »