Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 31 стр.

UptoLike

называется вектором скорости кривой или ее касательным вектором
(рис. 2).
Определение. Точка с радиус-вектором
Ñ
r (t
0
)на кривой Γ называется
неособой точкой этой кривой, если
Ñ
r
(t
0
)x 0.
Определение. Касательной прямой (рис. 2) к кривой Γ в её неособой
точке
Ñ
r (t
0
)называется прямая, проходящая через эту точку в направле-
нии век тора
Ñ
r
(t
0
). Плоскость, проходящую перпендикулярно касатель-
ной прямой через точку касания, называют, нормальной плоскостью к кри-
вой в этой точке (рис. 2).
Из да нных определенийследует, что канонические уравнения касатель-
ной прямой имеют вид:
x x (t
0
)
x
(t
0
)
=
y y(t
0
)
y
(t
0
)
=
z z (t
0
)
z
(t
0
)
,
а уравнение норма льной плоскости:
x
(t
0
)(x x (t
0
))+ y
(t
0
)(y y(t
0
))+ z
(t
0
)(z z (t
0
))= 0.
Пример 16. Написать уравнение касательной прямой и нормальной
плоскости к кривой
Γ
¢
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¤
x(t)= ln(1 + 2 sh t),
y(t)= t ln(ch 2t),
z(t)= 2 sh t + ch 2t
в точке M
0
, соответствующей t = 0.
Решение. Функции x(t), y(t ), z(t), задающие кривую Γ, дифферен-
цируемы в точке t = 0. Находим значения параметризующих кривую функ-
ций и их производных:
x(0)= 0, y(0)= 0, z(0)= 1;
x
(0)=
2 ch t
1 + 2 sh t
U
t=0
= 2, y
(0)= 1
2 sh 2t
ch 2t
U
t=0
= 1, z
(0)= (2 ch t + 2 sh 2t)U
t=0
= 2.
Та к как вектор
Ñ
r
(0)= (x
(0), y
(0), z
(0))не нулевой, то в точке M
0
(0,0,1)
кривая имеет касательную прямую с направляющим вектором (2,1,2). Ка-
нонические уравнения касательной имеют вид:
x
2
=
y
1
=
z 1
2
,
а уравнение норма льной плоскости
31
называется вектором скорости кривой или ее касательным вектором
(рис. 2).
   Определение. Точка с радиус-вектором Ñr (t0 ) на кривой Γ называется
неособой точкой этой кривой, если rќ (t0 ) x 0.
   Определение. Касательной прямой (рис. 2) к кривой Γ в её неособой
точке Ñr (t0 ) называется прямая, проходящая через эту точку в направле-
нии вектора rќ (t0 ) . Плоскость, проходящую перпендикулярно касатель-
ной прямой через точку касания, называют, нормальной плоскостью к кри-
вой в этой точке (рис. 2).
   Из данных определений следует, что канонические уравнения касатель-
ной прямой имеют вид:
                            x − x (t0 ) y − y(t0 ) z − z (t0 )
                                                               ,
                              xœ (t0 )    y (t0 )    z (t0 )
                                       = œ        = œ

а уравнение нормальной плоскости:
        xœ (t0 ) (x − x (t0 )) + yœ (t0 ) (y − y(t0 )) + zœ (t0 ) (z − z (t0 )) = 0.
   Пример 16. Написать уравнение касательной прямой и нормальной
плоскости к кривой
                             ¢̈ x(t) = ln(1 + 2 sh t),
                             ¨
                             ¨
                             ¨
                        Γ  ¦ y(t) = t − ln(ch 2t),
                             ¨
                             ¨
                             ¨ z(t) = 2 sh t + ch 2t
                             ¤̈
в точке M0 , соответствующей t = 0.
    Решение. Функции x(t), y(t), z(t), задающие кривую Γ, дифферен-
цируемы в точке t = 0. Находим значения параметризующих кривую функ-
ций и их производных:
                           x(0) = 0,     y(0) = 0,     z(0) = 1;
xœ (0) =             U = 2, yœ (0) = 1 −         U = 1, zœ (0) = (2 ch t + 2 sh 2t)U = 2.
             2 ch t                      2 sh 2t
           1 + 2 sh t t=0                 ch 2t t=0                                 t=0

   Так как вектор rќ (0) = (xœ (0), yœ (0), zœ (0)) не нулевой, то в точке M0 (0, 0, 1)
кривая имеет касательную прямую с направляющим вектором (2, 1, 2). Ка-
нонические уравнения касательной имеют вид:
                                       x  y z−1
                                         = =    ,
                                       2  1  2
а уравнение нормальной плоскости

                                            31