Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 32 стр.

UptoLike

2x + y + 2(z 1)= 0 или 2x + y + 2 z = 2.
Ответ. Касательная прямая
x
2
=
y
2
=
z 1
2
; нормальная плоскость 2x +
+ y + 2z = 2.
6.2. Простая параметрически зада нная поверхность
Пусть открытое множество в R
2
, пространстве переменных u, v.
Определение. Множество S точек в R
3
, заданное как образ множе-
ства при непрерывном отображении φ R
3
, называется простой
параметрически з аданной поверхностью, если разным точкам множества
о твечают разные точки множества S.
Отображение φ в координатной форме записывается равенствами ви да:
x = x (u,v), y = y(u, v), z = z (u,v), (u, v)> Ω,
которые называют параметрическими уравнениями поверхнос ти; незави-
симые переменные u , v параметры или координаты на S.
Положение точек поверхности описывает её радиус-в ектор
Ñ
r (u,v)= (x (u,v), y(u,v), z (u,v)), (u, v)> Ω.
Примером простой параметрически зада нной поверхности является гра-
фик непрерывной функции z = f (x, y); здесь x = u, y = v и
Ñ
r (u,v) =
= (u,v, f (u,v)).
Рис. 3
Если в области задана кривая u =
= u (t),v = v (t), t > T, то её образ при
отображении φ определяет кривую
Ñ
r (t) =
=
Ñ
r (u(t),v (t))на поверхности S.
В частности, на S определены кривые
Ñ
r (u)=
Ñ
r (u,v
0
)и
Ñ
r (v)=
Ñ
r (u
0
,v), где u
0
,v
0
фиксированные значения параметров; их на-
зывают координатными кривыми (рис. 3).
Предположим, что функции x = x (u,v),
y = y(u,v), z = z (u, v )непрерывно диффе-
ренцируемы. Тогда в каждой точке поверх-
ности определены в екторы
Ñ
r
u
=
Ñ
r
∂u
= (x
u
, y
u
, z
u
)и
Ñ
r
v
=
Ñ
r
v
= (x
v
, y
v
, z
v
),
касательные к координатным кривым, проходящим через эту точку.
32