Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

2x + y + 2(z − 1)= 0 или 2x + y + 2 z = 2.
Ответ. Касательная прямая
x
2
=
y
2
=
z − 1
2
; нормальная плоскость 2x +
+ y + 2z = 2.
6.2. Простая параметрически зада нная поверхность
Пусть Ω — открытое множество в R
2
, пространстве переменных u, v.
Определение. Множество S точек в R
3
, заданное как образ множе-
ства Ω при непрерывном отображении φ Ω R
3
, называется простой
параметрически з аданной поверхностью, если разным точкам множества
Ω о твечают разные точки множества S.
Отображение φ в координатной форме записывается равенствами ви да:
x = x (u,v), y = y(u, v), z = z (u,v), (u, v)> Ω,
которые называют параметрическими уравнениями поверхнос ти; незави-
симые переменные u , v — параметры или координаты на S.
Положение точек поверхности описывает её радиус-в ектор
Ñ
r (u,v)= (x (u,v), y(u,v), z (u,v)), (u, v)> Ω.
Примером простой параметрически зада нной поверхности является гра-
фик непрерывной функции z = f (x, y); здесь x = u, y = v и
Ñ
r (u,v) =
= (u,v, f (u,v)).
Рис. 3
Если в области Ω задана кривая u =
= u (t),v = v (t), t > T, то её образ при
отображении φ определяет кривую
Ñ
r (t) =
=
Ñ
r (u(t),v (t))на поверхности S.
В частности, на S определены кривые
Ñ
r (u)=
Ñ
r (u,v
0
)и
Ñ
r (v)=
Ñ
r (u
0
,v), где u
0
,v
0
—
фиксированные значения параметров; их на-
зывают координатными кривыми (рис. 3).
Предположим, что функции x = x (u,v),
y = y(u,v), z = z (u, v )непрерывно диффе-
ренцируемы. Тогда в каждой точке поверх-
ности определены в екторы
Ñ
r
u
=
∂
Ñ
r
∂u
= (x
u
, y
u
, z
u
)и
Ñ
r
v
=
∂
Ñ
r
∂v
= (x
v
, y
v
, z
v
),
касательные к координатным кривым, проходящим через эту точку.
32
                   2x + y + 2(z − 1) = 0      или 2x + y + 2z = 2.

                                         x    y       z−1
    Ответ. Касательная прямая = =   ; нормальная плоскость 2x +
                             2 2  2
+ y + 2z = 2.

6.2. Простая параметрически заданная поверхность
   Пусть Ω — открытое множество в R2 , пространстве переменных u, v.
   Определение. Множество S точек в R3 , заданное как образ множе-
ства Ω при непрерывном отображении φ  Ω      R3 , называется простой
параметрически заданной поверхностью, если разным точкам множества
Ω отвечают разные точки множества S.
   Отображение φ в координатной форме записывается равенствами вида:

           x = x (u, v) ,    y = y(u, v) ,        z = z (u, v) ,      (u, v) > Ω,

которые называют параметрическими уравнениями поверхности; незави-
симые переменные u , v — параметры или координаты на S.
   Положение точек поверхности описывает её радиус-вектор

               Ñr (u, v) = (x (u, v) , y(u, v) , z (u, v)) ,       (u, v) > Ω.

   Примером простой параметрически заданной поверхности является гра-
фик непрерывной функции z = f (x, y); здесь x = u, y = v и Ñr (u, v) =
= (u, v, f (u, v)).
                                 Если в области Ω задана кривая u =
                            = u (t) , v = v (t) , t > T, то её образ при
                            отображении φ определяет кривую Ñr (t) =
                            = Ñr (u (t) , v (t)) на поверхности S.
                                 В частности, на S определены кривые
                            Ñr (u) = Ñr (u, v0 ) и Ñr (v) = Ñr (u0 , v), где u0 , v0 —
                            фиксированные значения параметров; их на-
                            зывают координатными кривыми (рис. 3).
                                 Предположим, что функции x = x (u, v),
             Рис. 3          y = y(u, v) , z = z (u, v) непрерывно диффе-
                            ренцируемы. Тогда в каждой точке поверх-
                                  ∂Ñr                               ∂Ñr
ности определены векторы rќ u =      = (xuœ , yuœ , zuœ ) и rќv =     = (xvœ , yvœ , zvœ ),
                                  ∂u                                ∂v
касательные к координатным кривым, проходящим через эту точку.

                                             32

Страницы