Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 34 стр.

UptoLike

Утверждение. Касательная плоскость к поверхности содержит все ка-
сательные к кривым, проходящим на поверхнос ти через точку касания.
Дейс твительно, пусть через неособую точку
Ñ
r (u
0
,v
0
)на поверхности
проходит кривая
Ñ
r (t)=
Ñ
r (u (t), v (t)), u
0
= u (t
0
),v
0
= v (t
0
), причем точка
Ñ
r (t
0
) неособая точка этой кривой.
Дифференцируя
Ñ
r (t)как сложную функцию, найдем вектор, кас атель-
ный к кривой в точке
Ñ
r (t
0
):
Ñ
r
(t
0
)=
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
)u
(t
0
)+
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
)v
(t
0
).
Из этого равенства заключаем, что
Ñ
r
(t
0
) компланарен касательной
плоскости к поверхнос ти в точке
Ñ
r (u
0
,v
0
). Кроме того, касательная пря-
мая и касательная п лоскость имеют общую точку
Ñ
r(t
0
)=
Ñ
r(u
0
,v
0
). Следо-
вательно, касательная к кривой в точке (u
0
,v
0
)принадлежит касательной
плоскости к поверхности в этой точке.
Определение. Прямая, проходящая перпендикулярно касательной
плоскости к поверхности через точку касания, называется нормальной
прямой к поверхности в указанной точке.
Её канониче ские уравнения:
x x
0
W
y
u
z
u
y
v
z
v
W
(u
0
,v
0
)
=
y y
0
W
z
u
x
u
z
v
x
v
W
(u
0
,v
0
)
=
z z
0
W
x
u
y
u
x
v
y
v
W
(u
0
,v
0
)
.
Пример 17. Написать у равнения касательной пло скости и нормаль-
ной прямой к поверхности S, заданной параметрически уравнениями
S
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
x =
9u
v
2
1
,
y =
2v
u
2
+ 1
,
z = uv
в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
), соответствующей значениям параметров u
0
= 1, v
0
=
= 2.
Решение. Определим координаты точки M
0
: x
0
= 3 , y
0
= 2, z
0
= 2.
Найдем в екторы
Ñ
r
u
и
Ñ
r
v
, касательные к координатным линиям поверх-
ности в точке M
0
(3,2,2). Так как
34