Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Утверждение. Касательная плоскость к поверхности содержит все ка-
сательные к кривым, проходящим на поверхнос ти через точку касания.
Дейс твительно, пусть через неособую точку
Ñ
r (u
0
,v
0
)на поверхности
проходит кривая
Ñ
r (t)=
Ñ
r (u (t), v (t)), u
0
= u (t
0
),v
0
= v (t
0
), причем точка
Ñ
r (t
0
)— неособая точка этой кривой.
Дифференцируя
Ñ
r (t)как сложную функцию, найдем вектор, кас атель-
ный к кривой в точке
Ñ
r (t
0
):
Ñ
r
(t
0
)=
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
)u
(t
0
)+
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
)v
(t
0
).
Из этого равенства заключаем, что
Ñ
r
(t
0
) компланарен касательной
плоскости к поверхнос ти в точке
Ñ
r (u
0
,v
0
). Кроме того, касательная пря-
мая и касательная п лоскость имеют общую точку
Ñ
r(t
0
)=
Ñ
r(u
0
,v
0
). Следо-
вательно, касательная к кривой в точке (u
0
,v
0
)принадлежит касательной
плоскости к поверхности в этой точке.
Определение. Прямая, проходящая перпендикулярно касательной
плоскости к поверхности через точку касания, называется нормальной
прямой к поверхности в указанной точке.
Её канониче ские уравнения:
x − x
0
W
y
u
z
u
y
v
z
v
W
(u
0
,v
0
)
=
y − y
0
W
z
u
x
u
z
v
x
v
W
(u
0
,v
0
)
=
z − z
0
W
x
u
y
u
x
v
y
v
W
(u
0
,v
0
)
.
Пример 17. Написать у равнения касательной пло скости и нормаль-
ной прямой к поверхности S, заданной параметрически уравнениями
S
¢
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¦
¨
¨
¨
¨
¨
¨
¤
x =
9u
v
2
− 1
,
y =
2v
u
2
+ 1
,
z = uv
в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
), соответствующей значениям параметров u
0
= 1, v
0
=
= −2.
Решение. Определим координаты точки M
0
: x
0
= 3 , y
0
= −2, z
0
= −2.
Найдем в екторы
Ñ
r
u
и
Ñ
r
v
, касательные к координатным линиям поверх-
ности в точке M
0
(3,−2,−2). Так как
34
     Утверждение. Касательная плоскость к поверхности содержит все ка-
сательные к кривым, проходящим на поверхности через точку касания.
     Действительно, пусть через неособую точку Ñr (u0 , v0 ) на поверхности
проходит кривая Ñr (t) = Ñr (u (t) , v (t)), u0 = u (t0 ) , v0 = v (t0 ), причем точка
Ñr (t0 ) — неособая точка этой кривой.
     Дифференцируя Ñr (t) как сложную функцию, найдем вектор, касатель-
ный к кривой в точке Ñr (t0 ):

                 rќ (t0 ) = rќ u (u0 , v0 ) uœ (t0 ) + rќv (u0 , v0 ) vœ (t0 ) .

   Из этого равенства заключаем, что rќ (t0) компланарен касательной
плоскости к поверхности в точке Ñr (u0 , v0 ). Кроме того, касательная пря-
мая и касательная плоскость имеют общую точку Ñr(t0 ) = Ñr(u0 , v0 ). Следо-
вательно, касательная к кривой в точке (u0 , v0 ) принадлежит касательной
плоскости к поверхности в этой точке.
   Определение. Прямая, проходящая перпендикулярно касательной
плоскости к поверхности через точку касания, называется нормальной
прямой к поверхности в указанной точке.
   Её канонические уравнения:
                  x − x0            y − y0             z − z0
                                =                  =                 .
                 yuœ zuœ           zuœ xuœ            xuœ yuœ
                W œ œ W           W œ      W         W œ      W
                  yv zv (u ,v )     zv xvœ (u ,v )    xv yvœ (u ,v )
                          0 0                0 0                0 0


   Пример 17. Написать уравнения касательной плоскости и нормаль-
ной прямой к поверхности S, заданной параметрически уравнениями
                                          ¢̈
                                          ¨
                                                 9u
                                          ¨
                                          ¨
                                          ¨
                                             x= 2 ,
                                          ¨     v −1
                                      S  ¦ y = 2v ,
                                          ¨
                                          ¨
                                          ¨
                                          ¨     u2 + 1
                                          ¨ z = uv
                                          ¤̈
в точке M0 (x0 , y0 , z0 ), соответствующей значениям параметров u0 = 1, v0 =
= −2.
    Решение. Определим координаты точки M0 : x0 = 3, y0 = −2, z0 = −2.
    Найдем векторы rќ u и rќv , касательные к координатным линиям поверх-
ности в точке M0 (3, −2, −2). Так как



                                                34

Страницы