Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

функции следует, что в до статочно малой окрестности точки M
0
уравне-
ние F (x, y, z) = 0 однозначно разрешимо относительно z и определяет
z как непрерывно дифференцируемую функцию пер еменных x и y z =
= f(x, y).
Таким образом, можно утверждать, что неявно заданная поверхность
в своей неособой точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)имеет касательную плоскость:
z − z
0
=
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y− y
0
).
Подставляя в это уравнение частные производные функции f(x, y),
вычисленные по формулам
∂f
∂x
= −
F
x
F
z
,
∂f
∂y
= −
F
y
F
z
,
получим для неявно заданной поверхности уравнение касательной плос-
кости в виде:
F
x
(x
0
, y
0
, z
0
)(x − x
0
)+ F
y
(x
0
, y
0
, z
0
)(y− y
0
)+ F
z
(x
0
, y
0
, z
0
)(z − z
0
)= 0.
Соответственно уравнение нормальной прямой
x − x
0
F
x
( x
0
, y
0
, z
0
)
=
y − y
0
F
y
( x
0
, y
0
, z
0
)
=
z − z
0
F
z
( x
0
, y
0
, z
0
)
.
Пример 18. Написать уравнения касательной плоскости и нормаль-
ной прямой в точке M
0
(5,−2, 3)к поверхности S, заданной неявно уравне-
нием x −
1
y + 1
− z − 3 = 0.
Решение. Функция F(x, y, z)= x −
1
y + 1
− z− 3, задающая поверхность,
непрерывно дифференцируема в окрестности точки M
0
, век тор
grad F(5,−2, 3)=
Ñ
i +
Ñ
j−
Ñ
k x 0,
поэтому точка M
0
— неособая и в ней у поверхности S имеется касательная
плоскость
1 ċ (x − 5)+ 1 ċ (y+ 2)+ (−1)ċ (z − 3)= 0, или x + y − z = 0
и нормальная прямая
36
функции следует, что в достаточно малой окрестности точки M0 уравне-
ние F (x, y, z) = 0 однозначно разрешимо относительно z и определяет
z как непрерывно дифференцируемую функцию переменных x и y z =
= f(x, y).
    Таким образом, можно утверждать, что неявно заданная поверхность
в своей неособой точке M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет касательную плоскость:

                                (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 ) (y − y0 ) .
                             ∂f                      ∂f
                  z − z0 =
                             ∂x                      ∂y

   Подставляя в это уравнение частные производные функции f(x, y),
вычисленные по формулам

                                    ∂f    Fœ                  ∂f    Fyœ
                                       = − xœ ,                  = − œ,
                                    ∂x    Fz                  ∂y    Fz

получим для неявно заданной поверхности уравнение касательной плос-
кости в виде:

  Fxœ (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fyœ (x0 , y0 , z0 ) (y − y0 ) + Fzœ (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0.

   Соответственно уравнение нормальной прямой
                            x − x0                  y − y0                   z − z0
                                                                                              .
                        Fx (x0 , y0 , z0 )       Fy(x0 , y0 , z0 )       Fz (x0 , y0 , z0 )
                         œ
                                             =    œ
                                                                     =    œ



   Пример 18. Написать уравнения касательной плоскости и нормаль-
ной прямой в точке M0 (5, −2, 3) к поверхности S, заданной неявно уравне-
         1
нием x −    − z − 3 = 0.
           y+ 1
                                                               1
   Решение.        Функция F(x, y, z) = x −                        − z − 3, задающая поверхность,
                                                              y+ 1
непрерывно дифференцируема в окрестности точки M0 , вектор

                               grad F(5, −2, 3) = Ñi + Ñj− Ñk x 0,

поэтому точка M0 — неособая и в ней у поверхности S имеется касательная
плоскость

        1 ċ (x − 5) + 1 ċ (y + 2) + (−1) ċ (z − 3) = 0,                         или           x + y− z = 0

и нормальная прямая

                                                        36

Страницы