Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 36 стр.

UptoLike

функции следует, что в до статочно малой окрестности точки M
0
уравне-
ние F (x, y, z) = 0 однозначно разрешимо относительно z и определяет
z как непрерывно дифференцируемую функцию пер еменных x и y z =
= f(x, y).
Таким образом, можно утверждать, что неявно заданная поверхность
в своей неособой точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)имеет касательную плоскость:
z z
0
=
f
∂x
(x
0
, y
0
)(x x
0
)+
f
y
(x
0
, y
0
)(y y
0
).
Подставляя в это уравнение частные производные функции f(x, y),
вычисленные по формулам
f
∂x
=
F
x
F
z
,
f
y
=
F
y
F
z
,
получим для неявно заданной поверхности уравнение касательной плос-
кости в виде:
F
x
(x
0
, y
0
, z
0
)(x x
0
)+ F
y
(x
0
, y
0
, z
0
)(y y
0
)+ F
z
(x
0
, y
0
, z
0
)(z z
0
)= 0.
Соответственно уравнение нормальной прямой
x x
0
F
x
( x
0
, y
0
, z
0
)
=
y y
0
F
y
( x
0
, y
0
, z
0
)
=
z z
0
F
z
( x
0
, y
0
, z
0
)
.
Пример 18. Написать уравнения касательной плоскости и нормаль-
ной прямой в точке M
0
(5,2, 3)к поверхности S, заданной неявно уравне-
нием x
1
y + 1
z 3 = 0.
Решение. Функция F(x, y, z)= x
1
y + 1
z 3, задающая поверхность,
непрерывно дифференцируема в окрестности точки M
0
, век тор
grad F(5,2, 3)=
Ñ
i +
Ñ
j
Ñ
k x 0,
поэтому точка M
0
неособая и в ней у поверхности S имеется касательная
плоскость
1 ċ (x 5)+ 1 ċ (y+ 2)+ (1)ċ (z 3)= 0, или x + y z = 0
и нормальная прямая
36