Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 35 стр.

UptoLike

x
u
=
9
v
2
1
, y
u
=
4uv
(u
2
+ 1)
2
z
u
= v,
x
v
=
18uv
(v
2
1)
2
, y
v
=
2
u
2
+ 1
, z
v
= u,
то
Ñ
r
u
(M
0
)= (3,2,2),
Ñ
r
v
(M
0
)= (4,1,1).
Поскольку век торы
Ñ
r
u
(M
0
)и
Ñ
r
v
(M
0
)не коллинеарны, уравнение ка-
сательной плоскости имеет вид:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
x 3 y + 2 z + 2
3 2 2
4 1 1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
= 0
или 4x 11y 5z 44 = 0, а уравнение нормальной прямой к поверхности
в точке M
0
:
x 3
4
=
y + 2
11
=
z + 2
5
.
Ответ. Касательная п лоскость 4x11y5z 44 = 0; нормальная прямая
x 3
4
=
y + 2
11
=
z + 2
5
.
6.3. Неявно зада нная поверхность
Другой способ определить поверхно сть в R
3
задать её с помощью
уравнения F (x, y,z)= 0, где F непрерывная функция в некоторой об-
ласти U > R
3
.
В этом случае поверхность понимают как геометрическое место точек,
декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют указанно-
му уравнению.
Такую поверхность называют неявно заданной.
Поверхность, являющуюся графиком непрерывной функции z= f(x,y),
можно рассматривать как частный случай неявно заданной пов ерхности,
поскольку
z = f(x, y) z f(x, y)= 0.
Далее полагаем, что фу нкция F (x, y, z)непрерывно дифференцируема
в U.
Определение. Точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)неявно з аданной поверхности на-
зывается её неособой точкой, если grad F (M
0
)x 0.
В окрестности неособой точки неявно заданную поверхность можно
представить как график некоторой функции двух переменных. Действи-
тельно, пусть, например,
∂F
∂z
(x
0
, y
0
, z
0
) x 0. Тогда из теоремы о неявной
35