Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

x
u
=
9
v
2
− 1
, y
u
=
−4uv
(u
2
+ 1)
2
z
u
= v,
x
v
=
−18uv
(v
2
− 1)
2
, y
v
=
2
u
2
+ 1
, z
v
= u,
то
Ñ
r
u
(M
0
)= (3,2,−2),
Ñ
r
v
(M
0
)= (4,1,1).
Поскольку век торы
Ñ
r
u
(M
0
)и
Ñ
r
v
(M
0
)не коллинеарны, уравнение ка-
сательной плоскости имеет вид:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
x − 3 y + 2 z + 2
3 2 −2
4 1 1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
= 0
или 4x − 11y − 5z − 44 = 0, а уравнение нормальной прямой к поверхности
в точке M
0
:
x − 3
4
=
y + 2
−11
=
z + 2
−5
.
Ответ. Касательная п лоскость 4x−11y−5z −44 = 0; нормальная прямая
x − 3
4
=
y + 2
−11
=
z + 2
−5
.
6.3. Неявно зада нная поверхность
Другой способ определить поверхно сть в R
3
— задать её с помощью
уравнения F (x, y,z)= 0, где F — непрерывная функция в некоторой об-
ласти U > R
3
.
В этом случае поверхность понимают как геометрическое место точек,
декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют указанно-
му уравнению.
Такую поверхность называют неявно заданной.
Поверхность, являющуюся графиком непрерывной функции z= f(x,y),
можно рассматривать как частный случай неявно заданной пов ерхности,
поскольку
z = f(x, y) z − f(x, y)= 0.
Далее полагаем, что фу нкция F (x, y, z)непрерывно дифференцируема
в U.
Определение. Точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)неявно з аданной поверхности на-
зывается её неособой точкой, если grad F (M
0
)x 0.
В окрестности неособой точки неявно заданную поверхность можно
представить как график некоторой функции двух переменных. Действи-
тельно, пусть, например,
∂F
∂z
(x
0
, y
0
, z
0
) x 0. Тогда из теоремы о неявной
35
                    9                          −4uv
             xuœ =       ,               yuœ =               zuœ = v,
                  v2 − 1                      (u2 + 1)2
                   −18uv                        2
             xvœ = 2       ,             yvœ = 2 ,           zvœ = u,
                  (v − 1)2                    u +1

то rќ u(M0 ) = (3, 2, −2), rќv (M0 ) = (4, 1, 1).
     Поскольку векторы rќ u(M0 ) и rќv (M0 ) не коллинеарны, уравнение ка-
сательной плоскости имеет вид:
                               RRRx − 3 y + 2 z + 2RRR
                                 RRR                 RR
                                   RRR 3    2  −2 RRRR = 0
                                     RRR              R
                                       RR 4 1   1 RRRR
или 4x − 11y − 5z − 44 = 0, а уравнение нормальной прямой к поверхности
              x − 3 y+ 2 z + 2
в точке M0 :       =      =    .
                4     −11   −5
    Ответ. Касательная плоскость 4x−11y−5z−44 = 0; нормальная прямая
x − 3 y+ 2 z + 2
     =       =      .
 4     −11           −5

6.3. Неявно заданная поверхность
   Другой способ определить поверхность в R3 — задать её с помощью
уравнения F (x, y, z) = 0, где F — непрерывная функция в некоторой об-
ласти U > R3 .
   В этом случае поверхность понимают как геометрическое место точек,
декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют указанно-
му уравнению.
   Такую поверхность называют неявно заданной.
   Поверхность, являющуюся графиком непрерывной функции z=f(x,y),
можно рассматривать как частный случай неявно заданной поверхности,
поскольку
                       z = f(x, y)  z − f(x, y) = 0.
   Далее полагаем, что функция F (x, y, z) непрерывно дифференцируема
в U.
   Определение. Точка M0 (x0 , y0 , z0 ) неявно заданной поверхности на-
зывается её неособой точкой, если grad F (M0 ) x 0.
   В окрестности неособой точки неявно заданную поверхность можно
представить как график некоторой функции двух переменных. Действи-
                                  (x , y , z ) x 0. Тогда из теоремы о неявной
                               ∂F
тельно, пусть, например,
                               ∂z 0 0 0
                                           35

Страницы