Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВлГУ | Владимир

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Точка
Ñ
r(u
0
,v
0
)поверхности S называется неособой, ес-
ли век торы
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
)и
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
)не коллинеарны, то есть их в екторное
произведение [
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
),
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
)]отлично от нуля.
Заме тим, что в окрестности неособой точки
Ñ
r (u
0
,v
0
)поверхность мо-
жет быть предста влена в виде графика некоторой функции. Действитель-
но, условие [
Ñ
r
u
,
Ñ
r
v
]x 0 о значает, что ранг матрицы Якоби
x
u
x
v
y
u
y
v
z
u
z
v
(u
0
,v
0
)
равен двум. Пусть, например,
D (x, y)
D (u,v)
(u
0
,v
0
)x 0. Тогда по теореме об об-
ратном ото бражении в некоторой окрестности W точки (x
0
, y
0
), где x
0
=
= x (u
0
,v
0
), y
0
= y(u
0
,v
0
), существует обратное о тображение u = u (x, y),
v = v ( x, y). Считая независимые переменные x и yпараметрами, получаем
локальное предста вление поверхнос ти в виде графика функции
z = z(u(x, y) , v (x, y)), (x, y)> W.
Определение. Пусть
Ñ
r (u
0
,v
0
)— неособая точка поверхнос ти S. Плос-
кость, проходящую через эту точку, и приложенные к ней неколлинеарные
век торы
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
)и
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
), называют касательной плоскостью к по-
верхности в этой точке (рис. 3).
Вектор
Ñ
n = [
Ñ
r
u
,
Ñ
r
v
], перпендикулярный касательной плоскости, назы-
вается вектором нормали к поверхности S в точке касания.
Если x
0
= x (u
0
,v
0
), y
0
= y(u
0
,v
0
), z
0
= z (u
0
,v
0
), то уравнение каса-
тельной плоскости, как это следует из е ё определения, имеет вид:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
x − x
0
y − y
0
z − z
0
x
u
(u
0
,v
0
) y
u
(u
0
,v
0
) z
u
(u
0
,v
0
)
x
v
(u
0
,v
0
) y
v
(u
0
,v
0
) z
v
(u
0
,v
0
)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
= 0.
В случае поверхности вида z = f(x, y), где f(x, y)— непрерывно диф-
ференцируемая функция, указанное уравнение касательной плоскости, в
котором полагаем u = x,v = y, z = f(x, y), преобразуется к виду:
z − z
0
=
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)+
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y − y
0
).
Основное свойство касательной плоскости, которое может быть поло-
жено в основу её определения, сформулировано в следующем утвержде-
нии.
33
    Определение. Точка Ñr(u0 , v0 ) поверхности S называется неособой, ес-
ли векторы rќ u(u0 , v0 ) и rќv (u0 , v0 ) не коллинеарны, то есть их векторное
произведение [rќ u(u0 , v0 ), rќv (u0 , v0 )] отлично от нуля.
    Заметим, что в окрестности неособой точки Ñr (u0 , v0 ) поверхность мо-
жет быть представлена в виде графика некоторой функции. Действитель-
но, условие [rќ u , rќv ] x 0 означает, что ранг матрицы Якоби
                                    xuœ yuœ zuœ
                                Œ               ‘ (u0 , v0 )
                                    xvœ yvœ zvœ
                                      D (x, y)
равен двум. Пусть, например,                   (u , v ) x 0. Тогда по теореме об об-
                                      D (u, v) 0 0
ратном отображении в некоторой окрестности W точки (x0 , y0 ), где x0 =
= x (u0 , v0 ), y0 = y(u0 , v0 ), существует обратное отображение u = u (x, y),
v = v (x, y). Считая независимые переменные x и y параметрами, получаем
локальное представление поверхности в виде графика функции
                      z = z(u(x, y), v (x, y)),        (x, y) > W.
   Определение. Пусть Ñr (u0 , v0) — неособая точка поверхности S. Плос-
кость, проходящую через эту точку, и приложенные к ней неколлинеарные
векторы rќ u (u0 , v0 ) и rќv (u0 , v0 ), называют касательной плоскостью к по-
верхности в этой точке (рис. 3).
   Вектор n  Ñ = [rќ u , rќv ], перпендикулярный касательной плоскости, назы-
вается вектором нормали к поверхности S в точке касания.
   Если x0 = x (u0 , v0 ) , y0 = y(u0 , v0 ) , z0 = z (u0 , v0 ), то уравнение каса-
тельной плоскости, как это следует из её определения, имеет вид:
                     RRR x − x                                  z − z0 RRRR
                       RRR                       y − y0
                                                                               R
                         RRRR xuœ (u0 , v0 ) yuœ (u0 , v0 ) zuœ (u0 , v0 ) RRRRR = 0.
                                         0

                            RRR xœ (u0 , v0 ) yœ (u0 , v0 ) zœ (u0 , v0 ) RRR
                              R v              v              v                R
   В случае поверхности вида z = f(x, y), где f(x, y) — непрерывно диф-
ференцируемая функция, указанное уравнение касательной плоскости, в
котором полагаем u = x, v = y, z = f(x, y), преобразуется к виду:

                              (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 ) (y − y0 ) .
                           ∂f                      ∂f
                z − z0 =
                           ∂x                      ∂y

   Основное свойство касательной плоскости, которое может быть поло-
жено в основу её определения, сформулировано в следующем утвержде-
нии.

                                             33

Страницы