Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Скляренко В.А - 33 стр.

UptoLike

Определение. Точка
Ñ
r(u
0
,v
0
)поверхности S называется неособой, ес-
ли век торы
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
)и
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
)не коллинеарны, то есть их в екторное
произведение [
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
),
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
)]отлично от нуля.
Заме тим, что в окрестности неособой точки
Ñ
r (u
0
,v
0
)поверхность мо-
жет быть предста влена в виде графика некоторой функции. Действитель-
но, условие [
Ñ
r
u
,
Ñ
r
v
]x 0 о значает, что ранг матрицы Якоби
x
u
x
v
y
u
y
v
z
u
z
v
(u
0
,v
0
)
равен двум. Пусть, например,
D (x, y)
D (u,v)
(u
0
,v
0
)x 0. Тогда по теореме об об-
ратном ото бражении в некоторой окрестности W точки (x
0
, y
0
), где x
0
=
= x (u
0
,v
0
), y
0
= y(u
0
,v
0
), существует обратное о тображение u = u (x, y),
v = v ( x, y). Считая независимые переменные x и yпараметрами, получаем
локальное предста вление поверхнос ти в виде графика функции
z = z(u(x, y) , v (x, y)), (x, y)> W.
Определение. Пусть
Ñ
r (u
0
,v
0
) неособая точка поверхнос ти S. Плос-
кость, проходящую через эту точку, и приложенные к ней неколлинеарные
век торы
Ñ
r
u
(u
0
,v
0
)и
Ñ
r
v
(u
0
,v
0
), называют касательной плоскостью к по-
верхности в этой точке (рис. 3).
Вектор
Ñ
n = [
Ñ
r
u
,
Ñ
r
v
], перпендикулярный касательной плоскости, назы-
вается вектором нормали к поверхности S в точке касания.
Если x
0
= x (u
0
,v
0
), y
0
= y(u
0
,v
0
), z
0
= z (u
0
,v
0
), то уравнение каса-
тельной плоскости, как это следует из е ё определения, имеет вид:
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
x x
0
y y
0
z z
0
x
u
(u
0
,v
0
) y
u
(u
0
,v
0
) z
u
(u
0
,v
0
)
x
v
(u
0
,v
0
) y
v
(u
0
,v
0
) z
v
(u
0
,v
0
)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
= 0.
В случае поверхности вида z = f(x, y), где f(x, y) непрерывно диф-
ференцируемая функция, указанное уравнение касательной плоскости, в
котором полагаем u = x,v = y, z = f(x, y), преобразуется к виду:
z z
0
=
f
∂x
(x
0
, y
0
)(x x
0
)+
f
y
(x
0
, y
0
)(y y
0
).
Основное свойство касательной плоскости, которое может быть поло-
жено в основу её определения, сформулировано в следующем утвержде-
нии.
33